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管理运筹学(第3版)课后习题解析

《管理运筹学》(第 3 版)章后习题解析

第 2 章 线性规划的图解法

1.解:

(1)可行域为 OABC。

(2)等值线为图中虚线部分。

(3)由图

2-1

可知,最优解为

B

点,最优解

x1

=

12 7



x2

=

15 7

;最优目标函数值

69 7



图 2-1

2.解:

(1)如图

2-2

所示,由图解法可知有唯一解

? ?

x1

? x2

= =

0.2 0.6

,函数值为

3.6。

图 2-2 677

(2)无可行解。

(3)无界解。

(4)无可行解。

(5)无穷多解。

(6)有唯一解

? ??

x1

?

=

20 3

,函数值为

92



? ??

x2

=

8 3

3

3.解:

(1)标准形式

max f = 3x1 + 2x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3

9x1 + 2x2 + s1 = 30 3x1 + 2x2 + s2 = 13 2x1 + 2x2 + s3 = 9 x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0

(2)标准形式 min f = 4x1 + 6x2 + 0s1 + 0s2

3x1 ? x2 ? s1 = 6 x1 + 2x2 + s2 = 10 7x1 ? 6x2 = 4 x1, x2, s1, s2 ≥ 0

(3)标准形式 min f = x1′ ? 2x2′ + 2x2′′ + 0s1 + 0s2 ?3x1 + 5x2′ ? 5x2′′ + s1 = 70 2x1′ ? 5x2′ + 5x2′′ = 50 3x1′ + 2x2′ ? 2x2′′ ? s2 = 30 x1′, x2′ , x2′′, s1, s2 ≥ 0 4.解: 标准形式
max z = 10x1 + 5x2 + 0s1 + 0s2 3x1 + 4x2 + s1 = 9 5x1 + 2x2 + s2 = 8 x1, x2, s1, s2 ≥ 0 松弛变量(0,0)
最优解为 x1 =1,x2=3/2。
5.解:

678

标准形式

min f = 11x1 + 8x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3

10x1 + 2x2 ? s1 = 20

3x1 + 3x2 ? s2 = 18

4x1 + 9x2 ? s3 = 36 x1, x2 , s1, s2 , s3 ≥ 0 剩余变量(0, 0, 13)

最优解为 x1=1,x2=5。

6.解:

(1)最优解为 x1=3,x2=7。

(2)1 < c1 < 3 。

(3) 2 < c2 < 6 。

(4)

x1 x2

= =

6。 4。

(5)最优解为 x1=8,x2=0。

(6)不变化。因为当斜率 ?1≤ ? c1 ≤ ? 1 ,最优解不变,变化后斜率为 1,所以最优解不变。 c2 3
7.解:

模型 max z = 500x1 + 400x2 2x1 ≤ 300 3x2 ≤ 540 2x1 + 2x1 ≤ 440 1.2x1 +1.5x2 ≤ 300 x1, x2 ≥ 0 (1) x1 = 150 , x2 = 70 ,即目标函数最优值是 103 000。 (2)2,4 有剩余,分别是 330,15,均为松弛变量。

(3)50,0,200,0。

(4)在 [0,500] 变化,最优解不变;在 400 到正无穷变化,最优解不变。

(5)因为 ? c1 = ? 450 ≤ ?1,所以原来的最优产品组合不变。 c2 430
8.解:
(1)模型 min f = 8xA + 3xB 50xA +100xB ≤1 200 000 5xA + 4xB ≥ 60 000 100xB ≥ 300 000 xA , xB ≥ 0 基金 A,B 分别为 4 000 元,10 000 元,回报额为 60 000 元。

679

(2)模型变为 max z = 5xA + 4xB 50xA +100xB ≤1 200 000 100xB ≥ 300 000 xA , xB ≥ 0
推导出 x1 = 18 000 , x2 = 3 000 ,故基金 A 投资 90 万元,基金 B 投资 30 万元。
680

第 3 章 线性规划问题的计算机求解
1.解: (1) x1 = 150 , x2 = 70 ;目标函数最优值 103 000。 (2)1、3 车间的加工工时数已使用完;2、4 车间的加工工时数没用完;没用完的加工工时 数为 2 车间 330 小时,4 车间 15 小时。 (3)50,0,200,0。 含义:1 车间每增加 1 工时,总利润增加 50 元;3 车间每增加 1 工时,总利润增加 200 元; 2 车间与 4 车间每增加一个工时,总利润不增加。 (4)3 车间,因为增加的利润最大。 (5)在 400 到正无穷的范围内变化,最优产品的组合不变。
(6)不变,因为在 [0,500] 的范围内。
(7)所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时,约束条件 1 的右边
值在 [200,440] 变化,对偶价格仍为 50(同理解释其他约束条件)。
(8)总利润增加了 100×50=5 000,最优产品组合不变。 (9)不能,因为对偶价格发生变化。 (10)不发生变化,因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和 25 + 50 ≤100%
100 100 (11)不发生变化,因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和 50 + 60 ≤100% ,其
140 140 最大利润为 103 000+50×50?60×200=93 500 元。
2.解: (1)4 000,10 000,62 000。 (2)约束条件 1:总投资额增加 1 个单位,风险系数则降低 0.057;
约束条件 2:年回报额增加 1 个单位,风险系数升高 2.167; 约束条件 3:基金 B 的投资额增加 1 个单位,风险系数不变。 (3)约束条件 1 的松弛变量是 0,表示投资额正好为 1 200 000;约束条件 2 的剩余变量是 0,表示投资回报额正好是 60 000;约束条件 3 的松弛变量为 700 000,表示投资 B 基金的投资 额为 370 000。
(4)当 c2 不变时, c1 在 3.75 到正无穷的范围内变化,最优解不变; 当 c1 不变时, c2 在负无穷到 6.4 的范围内变化,最优解不变。
(5)约束条件 1 的右边值在 [780 000,1500 000] 变化,对偶价格仍为 0.057(其他同理)。
(6)不能,因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和 4 + 2 > 100% ,理由见百 4.25 3.6
分之一百法则。 3.解: (1)18 000,3 000,102 000,153 000。
681

(2)总投资额的松弛变量为 0,表示投资额正好为 1 200 000;基金 B 的投资额的剩余变量

为 0,表示投资 B 基金的投资额正好为 300 000;

(3)总投资额每增加 1 个单位,回报额增加 0.1;

基金 B 的投资额每增加 1 个单位,回报额下降 0.06。

(4) c1 不变时, c2 在负无穷到 10 的范围内变化,其最优解不变; c2 不变时, c1 在 2 到正无穷的范围内变化,其最优解不变。
(5)约束条件 1 的右边值在 300 000 到正无穷的范围内变化,对偶价格仍为 0.1;

约束条件 2 的右边值在 0 到 1 200 000 的范围内变化,对偶价格仍为-0.06。

(6) 600 000 + 300 000 = 100%故对偶价格不变。 900 000 900 000

4.解:

(1) x1 = 8.5 , x2 = 1.5 , x3 = 0 , x4 = 0 ,最优目标函数 18.5。 (2)约束条件 2 和 3,对偶价格为 2 和 3.5,约束条件 2 和 3 的常数项增加一个单位目标函

数分别提高 2 和 3.5。

(3)第 3 个,此时最优目标函数值为 22。

(4)在负无穷到 5.5 的范围内变化,其最优解不变,但此时最优目标函数值变化。

(5)在 0 到正无穷的范围内变化,其最优解不变,但此时最优目标函数值变化。

5.解:

(1)约束条件 2 的右边值增加 1 个单位,目标函数值将增加 3.622。

(2) x2 目标函数系数提高到 0.703,最优解中 x2 的取值可以大于零。
(3)根据百分之一百法则判定,因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和

1 14.583

+

2 ∞

≤100%

,所以最优解不变。

(4)因为 15 + 65 > 100 %,根据百分之一百法则,我们不能判定其对偶价格 30 ? 9.189 111.25 ?15
是否有变化。

682

第 4 章 线性规划在工商管理中的应用

1.解: 为了用最少的原材料得到 10 台锅炉,需要混合使用 14 种下料方案。 设按 14 种方案下料的原材料的根数分别为 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11, x12,x13,x14,模型如表 4-1 所示。

表 4-1 各种下料方式

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2 640 mm

21110000000000

1 770 mm

01003221110000

1 650 mm

00100102103210

1 440 mm

00010010120123

min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14 s.t. 2x1+x2+x3+x4≥80
x2+3x5+2x6+2x7+x8+x9+x10≥350 x3+x6+2x8+x9+3x11+2x12+x13≥420 x4+x7+x9+2x10+x12+2x13+3x14≥10 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12,x13,x14≥0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为

x1=40,x2=0,x3=0,x4=0,x5=116.667,x6=0,x7=0,x8=0,x9=0,x10=0,x11=140,x12=0, x13=0,x14=3.333 最优值为 300。

2.解:

从上午 11 时到下午 10 时分成 11 个班次,设 xi 表示第 i 班次安排的临时工的人数,模型如下。

min f=16(x1+x 2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11)

s.t.

x1+1≥9

x1+x2+1≥9

x1+x2+x3+2≥9

x1+x2+x3+x4+2≥3

x2+x3+x4+x5+1≥3

x3+x4+x5+x6+2≥3

x4+x5+x6+x7+1≥6

x5+x6+x7+x8+2≥12

x6+x7+x8+x9+2≥12

x7+x8+x9+x10+1≥7

x8+x9+x10+x11+1≥7

683

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11≥0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。

x1=8,x2=0,x3=1,x4=1,x5=0,x6=4,x7=0,x8=6,x9=0,x10=0,x11=0, 最优值为 320。 (1)在满足对职工需求的条件下,在 11 时安排 8 个临时工,13 时新安排 1 个临时工,14 时新安排 1 个临时工,16 时新安排 4 个临时工,18 时新安排 6 个临时工可使临时工的总成本 最小。

(2)这时付给临时工的工资总额为 80 元,一共需要安排 20 个临时工的班次。

约束

松弛/剩余变量

对偶价格

------

------------

------------

1

0

?4

2

0

0

3

2

0

4

9

0

5

0

?4

6

5

0

7

0

0

8

0

0

9

0

?4

10

0

0

11

0

0

根据剩余变量的数字分析可知,可以让 11 时安排的 8 个人工做 3 小时,13 时安排的 1 个

人工作 3 小时,可使得总成本更小。

(3)设 xi 表示第 i 班上班 4 小时临时工人数,yj 表示第 j 班上班 3 小时临时工人数。

min f=16(x1+x 2+x3+x4+x5+x6+x7+x8)+12(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9) s.t. x1+y1+1≥9

x1+x2+y1+y2+1≥9 x1+x2+x3+y1+y2+y3+2≥9

x1+x2+x3+x4+y2+y3+y4+2≥3 x2+x3+x4+x5+y3+y4+y5+1≥3

x3+x4+x5+x6+y4+y5+y6+2≥3 x4+x5+x6+x7+y5+y6+y7+1≥6 x5+x6+x7+x8+y6+y7+y8+2≥12 x6+x7+x8+y7+y8+y9+2≥12 x7+x8+y8+y9+1≥7

x8+y9+1≥7 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9≥0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。

684

x1=0,x2=0,x3=0,x4=0,x5=0,x6=0,x7=0,x8=6,y1=8,y2=0,y3=1,y4=0, y5=1,y6=0,y7=4,y8=0,y9=0。 最优值为 264。 具体安排如下。 在 11:00-12:00 安排 8 个 3 小时的班,在 13:00-14:00 安排 1 个 3 小时的班,在 15:00-16:00 安排 1 个 3 小时的班,在 17:00-18:00 安排 4 个 3 小时的班,在 18:00- 19:00 安排 6 个 4 小时的班。 总成本最小为 264 元,能比第一问节省 320?264=56 元。 3.解: 设生产 A、B、C 三种产品的数量分别为 x1,x2,x3,则可建立下面的数学模型。 max z=10 x1+12x2+14x3 s.t. x1+1.5x2+4x3≤2 000
2x1+1.2x2+x3≤1 000 x1≤200 x2≤250 x3 ≤100 x1,x2,x3≥0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。 x1=200,x2=250,x3=100,最优值为 6 400。 (1)在资源数量及市场容量允许的条件下,生产 A 200 件,B 250 件,C 100 件,可使生产 获利最多。 (2)A、B、C 的市场容量的对偶价格分别为 10 元,12 元,14 元。材料、台时的对偶价格 均为 0。说明 A 的市场容量增加一件就可使总利润增加 10 元,B 的市场容量增加一件就可使总 利润增加 12 元,C 的市场容量增加一件就可使总利润增加 14 元。但增加一千克的材料或增加 一个台时数都不能使总利润增加。如果要开拓市场应当首先开拓 C 产品的市场,如果要增加资 源,则应在 0 价位上增加材料数量和机器台时数。 4.解: 设白天调查的有孩子的家庭的户数为 x11,白天调查的无孩子的家庭的户数为 x12,晚上调查的 有孩子的家庭的户数为 x21,晚上调查的无孩子的家庭的户数为 x22,则可建立下面的数学模型。 min f =25x11+20x12+30x21+24x22 s.t. x11+x12+x21+x22≥2 000
x11+x12 =x21+x22 x11+x21≥700 x12+x22≥450 x11, x12, x21, x22≥0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。 x11=700,x12=300,x21=0,x22=1 000, 最优值为 47 500。
685

(1)白天调查的有孩子的家庭的户数为 700 户,白天调查的无孩子的家庭的户数为 300 户, 晚上调查的有孩子的家庭的户数为 0,晚上调查的无孩子的家庭的户数为 1 000 户,可使总调查 费用最小。
(2)白天调查的有孩子的家庭的费用在 20~26 元之间,总调查方案不会变化;白天调查的 无孩子的家庭的费用在 19~25 元之间,总调查方案不会变化;晚上调查的有孩子的家庭的费用 在 29 到正无穷之间,总调查方案不会变化;晚上调查的无孩子的家庭的费用在-20~25 元之间, 总调查方案不会变化。
(3)发调查的总户数在 1 400 到正无穷之间,对偶价格不会变化;有孩子家庭的最少调查 数在 0 到 1 000 之间,对偶价格不会变化;无孩子家庭的最少调查数在负无穷到 1 300 之间,对 偶价格不会变化。
5.解: 设第 i 个月签订的合同打算租用 j 个月的面积为 xij,则需要建立下面的数学模型: min f=2 800x11+4 500x12+6 000x13+7 300x14+2 800x21+4 500x22+6 000x23+2 800x31+ 4 500x32+2 800x41 s.t. x11≥15
x12+x21≥10 x13+x22+x31≥20 x14+x23+x32+x41≥12 xij≥0,i,j=1,2,3,4 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。 x11=15,x12=0,x13=0,x14=0,x21=10,x22=0,x23=0,x31=20,x32=0,x41=12, 最优值为 159 600,即在一月份租用 1 500 平方米一个月,在二月份租用 1 000 平方米一个月, 在三月份租用 2 000 平方米一个月,四月份租用 1 200 平方米一个月,可使所付的租借费最小。 6.解: 设 xij 表示第 i 种类型的鸡需要第 j 种饲料的量,可建立下面的数学模型。 max z=9(x11+x12+x13)+7(x21+x22+x23)+8(x31+x32+x33)?5.5(x11+x21+x31)?4(x12+x22+ x32)?5(x13+x23+x33) s.t. x11≥0.5(x11+x12+x13) x12≤0.2(x11+x12+x13) x21≥0.3(x21+x22+x23) x23≤0.3(x21+x22+x23) x33≥0.5(x31+x32+x33) x11+x21+x31≤30 x12+x22+x32≤30 x13+x23+x33≤30 xij≥0,i,j=1,2,3 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。 x11=30,x12=10,x13=10,x21=0,x22=0,x23=0,x31=0,x32=20,x33=20,最优值为 335,即
686

生产雏鸡饲料 50 吨,不生产蛋鸡饲料,生产肉鸡饲料 40 吨。

7.解:

设 X i 为第 i 个月生产的产品Ⅰ数量,Y i 为第 i 个月生产的产品Ⅱ数量,Z i ,W i 分别为第 i

个月末产品Ⅰ、Ⅱ库存数,S 1i ,S 2i 分别为用于第(i+1)个月库存的自有及租借的仓库容积(立 方米),则可以建立如下模型。

5

12

12

min z = ∑(5xi + 8yi ) + ∑ (4.5xi + 7 yi ) + ∑ (S1i + S2i )

i=1

i=6

i=1

s.t X1?10 000=Z1

X2+Z1?10 000=Z2

X3+Z2?10 000=Z3

X4+Z3?10 000=Z4

X5+Z4?30 000=Z5

X6+Z5?30 000=Z6

X7+Z6?30 000=Z7

X8+Z7?30 000=Z8

X9+Z8?30 000=Z9

X10+Z9?100 000=Z10

X11+Z10?100 000=Z11

X12+Z11?100 000=Z12

Y1?50 000=W1

Y2+W1?50 000=W2

Y3+W2?15 000=W3

Y4+W3?15 000=W4

Y5+W4?15 000=W5

Y6+W5?15 000=W6

Y7+W6?15 000=W7

Y8+W7?15 000=W8 Y9+W8?15 000=W9 Y10+W9?50 000=W10 Y11+W10?50 000=W11 Y12+W11?50 000=W12 S1i≤15 000 1≤i≤12 Xi+Yi≤120 000 1≤i≤12 0.2Zi+0.4Wi = S1i + S2i 31≤i≤12
X i ≥0, Yi ≥ 0 ,Z i ≥ 0,Wi ≥ 0, S1i ≥ 0, S2i ≥ 0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。

687

最优值为 4 910 500。

X1=10 000, X2=10 000, X3=10 000, X4=10 000, X5=30 000, X6=30 000, X7=30 000,

X8=45 000, X9=105 000, X10=70 000, X11=70 000, X12=70 000;

Y1=50 000, Y2=50 000, Y3=15 000, Y4=15 000, Y5=15 000

Y6=15 000, Y7=15 000, Y8=15 000, Y9=15 000, Y10=50 000, Y11=50 000, Y12=50 000;

Z8=15 000, Z9=90 000, Z10=60 000, Z11=30 000;

S18=3 000, S19=15 000, S110=12 000, S111=6 000, S29=3 000; 其余变量都等于 0。

8.解: 设第 i 个车间生产第 j 种型号产品的数量为 xij,可以建立下面的数学模型。 max = 25(x11 + x21+ x31 + x41 + x51) + 20(x12 + x32 + x42 + x52 ) +17(x13 + x23 + x43 + x53) +11 (x14 + x24 + x44 ) s.t x11 + x21 + x31 + x41 + x51 ≤1 400
x12 + x32 + x42 + x52 ≥ 300 x12 + x32 + x42 + x52 ≤ 800 x13 + x23 + x43 + x53 ≤ 8 000 x14 + x24 + x44 ≥ 700 5x11 + 7x12 + 6x13 + 5x14 ≤18 000 6x21 + 3x23 + 3x24 ≤15 000 4 x31 + 3x32 ≤14 000 3x41 + 2x42 + 4x43 + 2x44 ≤12 000 2x51 + 4x52 + 5x53 ≤10 000 x ij≥ 0,i = 1, 2,3, 4,5 j=1,2,3,4

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。

**********************最优解如下*************************

目标函数最优值为:279 400

变量

最优解

相差值

-------

---------

----------

x11

0

11

x21

0

26.4

x31

1 400

0

x41

0

16.5

x51

0

5.28

x12

0

15.4

x32

800

0

x42

0

11

x52

0

10.56

x13

1 000

0

688

x23 x43 x53 x14 x24 x44 约束

5 000 0 2 000 2 400 0 6 000 松弛/剩余变量

-------

-----------

1

0

2

500

3

0

4

0

5

7 700

6

0

7

0

8

6 000

9

0

10

0

目标函数系数范围 :

变量

下限

------x11 x21 x31 x41 x51 x12 x32 x42 x52 x13 x23 x43 x53 x14 x24 x44 常数项数范围:

------无下限 无下限
19.72 无下限 无下限 无下限
9.44 无下限 无下限
13.2 14.8 无下限
3.8 9.167 无下限
6.6

689

0 8.8 0 0 2.2 0 对偶价格 ---------25 0 20 3.8 0 2.2 4.4 0 5.5 2.64
当前值 ------25 25 25 25 25 20 20 20 20 17 17 17 17 11 11 11

上限 ------36 51.4 无上限 41.5 30.28 35.4 无上限 31 30.56 19.2 无上限 25.8 无上限 14.167 13.2 无上限

约束

下限

当前值

上限

-------

-------

-------

-------

1

0

1 400

2 900

2

无下限

300

800

3

300

800

2 800

4

7 000

8 000

10 000

5

无下限

700

8 400

6

6 000

18 000

无上限

7

9 000

15 000

18 000

8

8 000

14 000

无上限

9

0

12 000

无上限

10

0

10 000

15 000

即x11 = 0, x12 = 0, x13 = 1 000, x14 = 2 400, x21 = 0, x23 = 5 000, x24 = 0, x31 = 1 400, x32 = 800, x41 = 0, x42 = 0, x43 = 0, x44 = 6 000, x51 = 0, x52 = 0, x53 = 2 000, 最优值为 279 400。

对 5 个车间的可用生产时间做灵敏度分析可以按照以上管理运筹学软件的计算结果自行

进行。

9.解:

设第一个月正常生产 x1,加班生产 x2,库存 x3;第二个月正常生产 x4,加班生产 x5,库存 x6;第三个月正常生产 x7,加班生产 x8,库存 x9;第四个月正常生产 x10,加班生产 x11,可以 建立下面的数学模型。

min f=200(x1+ x4+ x7+ x10)+300(x2+ x5+ x8+ x11)+60(x3+ x6+ x9) s.t x1≤4 000 x4≤4 000 x7≤4 000 x10≤4 000 x3≤4 000 x6≤1 000 x9≤1 000 x2≤1 000 x5≤1 000 x8≤1 000 x 11≤1 000 x1 + x2 ? x3 = 4 500 x3 + x4 + x5 ? x6 = 3 000 x6 + x7 + x8 ? x9 = 5 500 x9 + x10 + x11 = 4 500

690

x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , x10 , x11 ≥ 0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。 最优值为 f =3 710 000 元。 x1=4 000 吨,x2 =500 吨,x3=0 吨,x4=4 000 吨,x5=0 吨, x6=1 000 吨,x7=4 000 吨,x8=500 吨,x9=0 吨,x10=4 000 吨,x11=500 吨。
691

第5章 单 纯 形 法

1.解: 表中 a、c、e、f 是可行解,a、b、f 是基本解,a、f 是基本可行解。 2.解: (1)该线性规划的标准型如下。
max 5x1+9x2+0s1+0s2+0s3 s.t. 0.5x1+x2+s1=8 x1+x2-s2=10 0.25x1+0.5x2-s3=6 x1,x2,s1,s2,s3≥0
(2)有两个变量的值取零,因为有三个基变量、两个非基变量,非基变量取零。 (3)(4,6,0,0,-2)T (4)(0,10,-2,0,-1)T (5)不是。因为基本可行解要求基变量的值全部非负。 (6)略 3.解: (1)

迭代次数

基变量

CB

表 5-1

x1

x2

x3

s1

s2

s3

b

6

30

25

0

0

0

s1

0

3

1

0

1

0

0

40

s2

0

0

2

1

0

1

0

50

0

s3

0

2

[1]

?1

0

0

1

20

zj

0

0

0

0

0

0

0

cj ? zj

6

30

25

0

0

0

(2)线性规划模型如下。 max 6x1+30x2+25x3 s.t. 3x1+x2+s1=40 2x2+x3+s2=50 2x1+x 2-x3+s3=20 x1,x2,x3,s1,s2,s3 ≥0
(3)初始解的基为(s1,s2,s3)T,初始解为(0,0,0,40,50,20)T,对应的目标函数

692

值为 0。 (4)第一次迭代时,入基变量时 x2,出基变量为 s3。 4.解: 最优解为(2.25,0)T,最优值为 9。

单纯形法如表 5-2 所示。

迭代次数 0

基变量

CB

s1

0

s2

0

zj

cj ? zj

图 5-1

表 5-2

x1

x2

4

1

1

3

[4]

2

0

0

4

1

s1

0

0

2.5

x1

4

1

0.5

1

zj

4

2

cj ? zj

0

?1

5.解: (1)最优解为(2,5,4)T,最优值为 84。 (2)最优解为(0,0,4)T,最优值为?4。 6.解: 有无界解。

693

s1

s2

b

0

0

1

0

7

0

1

9

0

0

0

0

1

?0.25

4.75

0

0.25

2.25

0

1

0

?1

7.解: (1)无可行解。 (2)最优解为(4,4)T,最优值为 28。 (3)有无界解。 (4)最优解为(4,0,0)T,最优值为 8。
694

第 6 章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
1.解: (1)c1≤24 (2)c2≥6 (3)cs2≤8 2.解: (1)c1≥?0.5 (2)?2≤c3≤0 (3)cs2≤0.5 3.解: (1)b1≥250 (2)0≤b2≤50 (3)0≤b3≤150 4.解: (1)b1≥?4 (2)0≤b2≤10 (3)b3≥4 5.解: (1)利润变动范围 c1≤3,故当 c1=2 时最优解不变。 (2)根据材料的对偶价格为 1 判断,此做法不利。 (3)0≤b2≤45。 (4)最优解不变,故不需要修改生产计划。 (5)此时生产计划不需要修改,因为新的产品计算的检验数为?3 小于零,对原生产计划没 有影响。 6.解: 均为唯一最优解,根据从计算机输出的结果看出,如果松弛或剩余变量为零且对应的对偶 价格也为零,或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时,可知此线性规划有无穷多 组解。 7.解: (1)min f = 10y1+20y2.
s.t. y1+y2≥2 y1+5y2≥1 y1+y2≥1 y1,y2≥0
(2)max z= 100y1+200y2. s.t. 1/2y1+4y2≤4
695

2y1+6y2≤4

2y1+3y2≤2 y1,y2≥0

8.解:

(1)min f=?10y1+50y2+20y3.

s.t. ?2y1+3y2+y3≥1

?3y1+y2 ≥2

?y1+y2+y3 =5

y1,y2≥0,y3 没有非负限制。

(2)max z= 6y1?3y2+2y3. s.t. y1?y2?y3≤1

2y1+y2+y3 =3

?3y1+2y2?y3≤?2

y1,y2≥0,y3 没有非负限制

9.解:

max z = ?x1 ? 2x2 ? 3x3

??x1 + x2 ? x3 + x4

= ?4

? ? ? ?

x1 + x2 + 2x3 ? x2 + x3

+ x5 = 8 + x6 = ?2

??x j ≥ 0, j = 1,", 6

用对偶单纯形法解如表 6-1 所示。

迭代次数 0
1

表 6-1

基变量

CB

x1

x2

x3

s1

s2

?1

?2

?3

0

0

s1

0

[?1]

1

?1

1

0

s2

0

1

1

2

0

1

s3

0

0

?1

1

0

0

zj

0

0

0

0

0

cj ? zj

?1

?2

?3

0

0

x1

?1

1

?1

1

?1

0

s2

0

0

2

1

1

1

s3

0

0

[?1]

1

0

0

zj

?1

1

?1

1

0

cj ? zj

0

?3

?2 ?1

0

s3

b

0

0

?4

0

8

1

?2

0

0

0

4

0

4

1

?2

0

0

696

迭代次数 2

续表

基变量

CB

x1

x2

x3

s1

s2

s3

b

?1

?2

?3

0

0

0

x1

?1

1

0

0

?1

0

?1

6

s2

0

0

0

3

1

1

2

0

x2

?2

0

1

?1

0

0

?1

2

zj

?1

?2

2

1

0

3

cj ? zj

0

0

?5 ?1

0

?3

最优解为 x1=6,x2=2,x3=0,目标函数最优值为 10。

697

第7章 运 输 问 题

1.解: (1)此问题为产销平衡问题。

表 7-1









1 分厂

21

17

23

25

2 分厂

10

15

30

19

3 分厂

23

21

20

22

销量

400

250

350

200

最优解如下

********************************************



至 销点

发点

1

2

3

4

--------

-------- -------- -------- --------

1

0

250

0

50

2

400

0

0

0

3

0

0

350 150

此运输问题的成本或收益为:19 800。

此问题的另外的解如下。



至 销点

发点

1

2

3

4

--------

-------- -------- -------- --------

1

0

250

50

0

2

400

0

0

0

3

0

0

300 200

此运输问题的成本或收益为:19 800。

(2)如果 2 分厂产量提高到 600,则为产销不平衡问题。 最优解如下

********************************************



至 销点

发点

1

2

3

4

--------

-------- -------- -------- --------

1

0

250

0

0

2

400

0

0

200

3

0

0

350

0

产量 300 400 500 1 200

698

此运输问题的成本或收益为:19 050。 注释:总供应量多出总需求量 200;
第 1 产地的剩余 50; 第 3 个产地剩余 150。 (3)销地甲的需求提高后,也变为产销不平衡问题。
最优解如下

********************************************



至 销点

发点

1

2

3

4

--------

----- -----

-----

-----

1

50 250

0

0

2

400 0

0

0

3

0

0

350

150

此运输问题的成本或收益为:19 600。

注释:总需求量多出总供应量 150;

第 1 个销地未被满足,缺少 100;

第 4 个销地未被满足,缺少 50;

2.解:

首先,计算本题的利润模型,如表 7-2 所示。

表 7-2



Ⅰ′



Ⅱ′











0.3

0.3

0.4

0.4

0.3

0.4

0.1

0.9



0.3

0.3

0.1

0.1

?0.4

0.2

?0.2

0.6



0.05

0.05

0.05

0.05

0.15

0.05

?0.05

0.55



?0.2

?0.2

0.3

0.3

0.1

?0.1

?0.1

0.1

由于目标函数是“max”,将目标函数变为“min”则以上利润模型变为以下模型。

表 7-3



Ⅰ′



Ⅱ′











?0.3

?0.3

?0.4

?0.4

?0.3

?0.4



?0.3

?0.3

?0.1

?0.1

0.4

?0.2



?0.05

?0.05

?0.05

?0.05

?0.15

?0.05



0.2

0.2

?0.3

?0.3

?0.1

0.1

?0.1 0.2 0.05 0.1

?0.9 ?0.6 ?0.55 ?0.1

699

由于管理运筹学软件中要求所输入的数值必须为非负,则将上表中的所有数值均加上 1, 因此表 7-3 就变为以下模型。

表 7-4



Ⅰ′



Ⅱ′











0.7

0.7

0.6

0.6

0.7

0.6

0.9

0.1



0.7

0.7

0.9

0.9

1.4

0.8

1.2

0.4



0.95

0.95

0.95

0.95

0.85

0.95

1.05

0.45



1.2

1.2

0.7

0.7

0.9

1.1

1.1

0.9

加入产销量变为运输模型如下。

表 7-5



Ⅰ′



Ⅱ′











0.7

0.7

0.6

0.6

0.7

0.6

0.9

0.1



0.7

0.7

0.9

0.9

1.4

0.8

1.2

0.4



0.95

0.95

0.95

0.95

0.85

0.95

1.05

0.45



1.2

1.2

0.7

0.7

0.9

1.1

1.1

0.9

销量

150

150

150

100

350

200

250

150

产量 300 500 400 100

由于以上模型销量大于产量所以加入一个虚拟产地戊,产量为 200,模型如表 7-6 所示。

表 7-6



Ⅰ′



Ⅱ′









产量



0.7

0.7

0.6

0.6

0.7

0.6

0.9

0.1

300



0.7

0.7

0.9

0.9

1.4

0.8

1.2

0.4

500



0.95

0.95

0.95

0.95

0.85

0.95

1.05

0.45

400



1.2

1.2

0.7

0.7

0.9

1.1

1.1

0.9

100



M

0

M

0

0

0

M

0

200

销量

150

150

150

100

350

200

250

150 1 500

用管理运筹学软件计算得出结果如图 7-1 所示。

700

图 7-1

由于计算过程中将表中的所有数值均加上 1,因此应将这部分加上的值去掉,所以 935 ?1 300×1 = ?365 ,又因为最初将目标函数变为了“min”,因此此利润问题的结果为 365。
3.解: 建立的运输模型如表 7-7。

1

0

60

1

600

1′

600+600×10%

2

M

2′

M

3

M

3′

M

5

表 7-7

2

3

120 600+60

180

2

600+60×2

3

600+600×10%+60

600+600×10%+60×2

3

700

700+60

4

700+700×10%

700+700×10%+60

2

M

650

2

M

650+650×10%

3

5

6

最优解如下 ********************************************

起 发点 --------
1 2 3



销点

1

2

3

-----

-----

-----

1

0

1

3

0

0

1

1

0

701

4

0

4

0

5

0

0

0

6

0

0

2

7

0

0

3

此运输问题的成本或收益为:9 665

注释:总供应量多出总需求量 3 第 3 个产地剩余 1 第 5 个产地剩余 2

此问题的另外的解如下。



至 销点

发点

1

2

3

--------

-----

-----

-----

1

2

0

0

2

3

0

0

3

0

2

0

4

0

3

1

5

0

0

0

6

0

0

2

7

0

0

3

此运输问题的成本或收益为: 9 665

注释:总供应量多出总需求量 3 第 3 个产地剩余 1 第 5 个产地剩余 2

此问题的另外的解如下。



至 销点

发点

1

2

3

--------

-----

-----

-----

1

2

0

0

2

3

0

0

3

0

1

1

4

0

4

0

5

0

0

0

702

6

0

0

2

7

0

0

3

此运输问题的成本或收益为: 9 665

注释:总供应量多出总需求量 3 第 3 个产地剩余 1 第 5 个产地剩余 2
4.解:

表 7-8





A

B

C



0

100

150

200

180



80

0

80

210

60

A

150

80

0

60

110

B

200

210

70

0

140

C

180

60

110

130

0

D

240

170

90

50

85

1 100

1 100

1 400

1 300

1 600

最优解如下

********************************************



至 销点

发点

1

2

3

4

--------

-----

-----

-----

-----

1

1 100

0

300

200

2

0

1 100

0

0

3

0

0

1 100

0

4

0

0

0

1 100

5

0

0

0

0

6

0

0

0

0

此运输问题的成本或收益为 130 000。

5.解:

建立的运输模型如下。

min f = 54x11+49x12+52x13+64x14+57x21+73x22+69x23+65x24 s.t. x11+x12+x13+x14≤1 100,
x21+x22+x23+x24≤1 000, x11,x12,x13,x14, x21,x22,x23,x24≥0.

D 240 170 80
50 90 0 1 200
5 -----
0 600
0 0 1 000 0

1 600 1 700 1 100 1 100 1 100 1 100
6 -----
0 0 0 0 100 1 100

703

1

2

3

4

A

54

49

52

64

B

57

73

69

61

500

300

550

650

最优解如下

********************************************



至 销点

发点

1

2

3

--------

-----

-----

-----

1

250

300

550

2

250

0

0

此运输问题的成本或收益为:110 700

注释:总供应量多出总需求量 100

第 2 个产地剩余 100

6.解:

(1)最小元素法的初始解如表 7-9 所示。

4 ----0 650

1 甲

表 7-9

2

3

8

7

4

15

1 100 1 000
产量 15 0

3

5

9



10

10

5

25 15 5 0

0

0

0



10

10 0

20

10

20

销量

10

0

5

0

0

(2) 最优解如下

********************************************



至 销点

发点

1

2

3

--------

-----

-----

-----

1

0

0

15

2

20

5

0

704

此运输问题的成本或收益为: 145

注释:总需求量多出总供应量 10 第 2 个销地未被满足,缺少 5 第 3 个销地未被满足,缺少 5

(3)该运输问题只有一个最优解,因为其检验数均不为零。 (4)
最优解如下
********************************************



至 销点

发点

1

2

3

--------

-----

-----

-----

1

0

0

15

2

25

0

0

此运输问题的成本或收益为: 135

注释:总需求量多出总供应量 20 第 1 个销地未被满足,缺少 5 第 2 个销地未被满足,缺少 10 第 3 个销地未被满足,缺少 5

705

第8章 整 数 规 划
1.解: ① max z=5x1+8x2
s.t. x1+x2≤6, 5x1+9x2≤45, x1, x2≥0,且为整数 目标函数最优解为 x1* = 0, x2* = 5, z* = 40 。 ② max z=3x1+2x2 s.t. 2x1+3x2≤14, 2x1+x2≤9, x1, x2≥0,且 x1 为整数 目标函数最优解为 x1* = 3, x2* = 2.666 7, z* = 14.333 4 。 ③ max z=7x1+9x2+3x3 s.t. –x1+3x2+x3≤7, 7x1+x2+3x3≤38, x1, x2, x3≥0,且 x1 为整数,x3 为 0–1 变量。 目标函数最优解为 x1* = 5, x2* = 3, x3* = 0, z* = 62 。 2.解: 设 xi 为装到船上的第 i 种货物的件数,i=1, 2, 3, 4, 5。则该船装载的货物取得最大价值目标 函数的数学模型可写为 max z=5x1+10x2+15x3+18x4+25x5 s.t.
20x1+5x2+10x3+12x4+25x5≤400 000, x1+2x2+3x3+4x4+5x5≤50 000, x1+4x4≤10 000 0.1x1+0.2x2+0.4x3+0.1x4+0.2x5≤750, xi≥0,且为整数,i=1, 2, 3, 4, 5。 目标函数最优解为 x1* = 0, x2* = 0, x3* = 0, x4* = 2 500, x5* = 2 500, z* = 107 500 。 3.解: 设 xi 为第 i 项工程,i=1, 2, 3, 4, 5,且 xi 为 0–1 变量,并规定,
706

xi

=

?1, ?

? 0,

当第 i 项工程被选定时, 当第 i 项工程没被选定时,

根据给定条件,使三年后总收入最大的目标函数的数学模型为
max z=20x1+40x2+20x3+15x4+30x5
s.t. 5x1+4x2+3x3+7x4+8x5≤25, x1+7x2+9x3+4x4+6x5≤25, 8x1+10x2+2x3+x4+10x5≤25, xi 为 0–1 变量,i=1, 2, 3, 4, 5。
目标函数最优解为 x1* = 1, x2* = 1, x3* = 1, x4* = 1, x5* = 0, z* = 95。 4.解: 这是一个混合整数规划问题。 设 x1、x2、x3 分别为利用 A、B、C 设备生产的产品的件数,生产准备费只有在利用该设备 时才投入,为了说明固定费用的性质,设

yi

=

?1, ?? 0,

故其目标函数为
min z=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3 为了避免没有投入生产准备费就使用该设备生产,必须加以下的约束条件,M 为充分大的数。 x1≤y1M, x2≤y2M, x3≤y3M, 设 M=1 000 000 ① 该目标函数的数学模型为
min z=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3
s.t. x1+x2+x3=2 000, 0.5x1+1.8x2+1.0x3≤2 000, x1≤800, x2≤1 200, x3≤1 400, x1≤y1M, x2≤y2M, x3≤y3M, x1, x2, x3≥0,且为整数,y1, y2, y3 为 0–1 变量。

707

目标函数最优解为 x1* =370, x2* =231, x3* =1 399, y1=1, y2=1, y3=1, z*=10 647。 ② 该目标函数的数学模型为
min z=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3 s.t.
x1+x2+x3=2 000, 0.5x1+1.8x2+1.0x3≤2 500, x1≤800, x2≤1 200, x3≤1 400, x1≤y1M, x2≤y2M, x3≤y3M, x1, x2, x3≥0,且为整数,y1, y2, y3 为 0–1 变量。 目标函数最优解为 x1* =0, x2* =625, x3* =1 375, y1=0, y2=1, y3=1, z* =8 625。 ③ 该目标函数的数学模型为
min z=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3 s.t.
x1+x2+x3=2 000, 0.5x1+1.8x2+1.0x3≤2 800, x1≤800, x2≤1 200, x3≤1 400, x1≤y1M, x2≤y2M, x3≤y3M, x1, x2, x3≥0,且为整数,y1, y2, y3 为 0–1 变量。 目标函数最优解为 x1* =0, x2* =1 000, x3* =1 000, y1=0, y2=1, y3=1, z*=7 500。 ④ 该目标函数的数学模型为
min z=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3 s.t.
x1+x2+x3=2 000, x1≤800, x2≤1 200, x3≤1 400, x1≤y1M, x2≤y2M, x3≤y3M,
708

x1, x2, x3≥0,且为整数,y1, y2, y3 为 0–1 变量。 目标函数最优解为 x1* =0, x2* =1 200, x3* =800, y1=0, y2=1, y3=1, z*=6 900。 5.解: 设 xij 为从 Di 地运往 Ri 地的运输量,i=1, 2, 3, 4,j=1, 2, 3 分别代表从北京、上海、广州、 武汉运往华北、华中、华南的货物件数,并规定,

yi

=

?1, ?? 0,

当 i 地被选设库房, 当 i 地没被选设库房。

该目标函数的数学模型为
min z=45 000y1+50 000y2+70 000y3+40 000y4+200x11+400x12+500x13+300x21+250x22+400x23+ 600x31+350x32+300x33+350x41+150x42+350x43
s.t.
x11+x21+x31+x41=500, x12+x22+x32+x42=800, x13+x23+x33+x43=700, x11+x12+x13≤1 000y1, x21+x22+x23≤1 000y2, x31+x32+x33≤1 000y3, x41+x42+x43≤1 000y4, y2≤y4, y1+y2+y3+y4≤2, y3+y4≤1, xij≥0,且为整数,yi 为 0?1 变量,i=1,2,3,4。 目标函数最优解为

x1*1 =500, x1*2 =0, x1*3 =500, x2*1 =0, x2*2 =0, x2*3 =0, x3*1 =0, x3*2 =0, x3*3 =0, x4*1 =0, x4*2 =800, x4*3 =200, y1 =1, y2 =0, y3 =0, y4 =1, z* =625 000。
也就是说在北京和武汉建库房,北京向华北和华南各发货 500 件,武汉向华中发货 800 件, 向华南发货 200 件就能满足要求,即这就是最优解。
6.解:

引入 0?1 变量 xij,并令 xij=

1,当指派第 i 人去完成第 j 项工作时, 0,当不指派第 i 人去完成第 j 项工作时。

① 为使总消耗时间最少的目标函数的数学模型为 min z=20x11+19x12+20x13+28x14+18x21+24x22+27x23+20x24+26x31+16x32+15x33+18x34+17x41+20x42
+24x43+19x44 s.t.
x11+x12+x13+x14=1,

709

x21+x22+x23+x24=1, x31+x32+x33+x34=1, x41+x42+x43+x44=1, x11+x21+x31+x41=1, x12+x22+x32+x42=1, x13+x23+x33+x43=1, x14+x24+x34+x44=1, xij 为 0?1 变量,i=1,2,3,4, j=1,2,3,4 目标函数最优解为 x1*1 =0, x1*2 =1, x1*3 =0, x1*4 =0, x2*1 =1, x2*2 =0, x2*3 =0, x2*4 =0, x3*1 =0, x3*2 =0, x3*3 =1, x3*4 =0,x4*1 =0, x4*2 =0, x4*3 =0, x4*4 =1, z* =71。 或 x1*1 =0, x1*2 =1, x1*3 =0, x1*4 =0, x2*1 =0, x2*2 =0, x2*3 =0, x2*4 =1, x3*1 =0, x3*2 =0, x3*3 =1, x3*4 =0,x4*1 =1, x4*2 =0, x4*3 =0, x4*4 =0, z* =71。 即安排甲做 B 项工作,乙做 A 项工作,丙做 C 项工作,丁做 D 项工作,或者是安排甲做 B 项工作,乙做 D 项工作,丙做 C 项工作,丁做 A 项工作,最少时间为 71 分钟。也可用管理 运筹学软件的整数规划中的指派问题子程序直接求得。 ② 为使总收益最大的目标函数的数学模型是 将①中的目标函数改为求最大值即可。 目标函数最优解为 x1*1 =0, x1*2 =0, x1*3 =0, x1*4 =1, x2*1 =0, x2*2 =1, x2*3 =0, x2*4 =0, x3*1 =1, x3*2 =0, x3*3 =0, x3*4 =0,x4*1 =0, x4*2 =0, x4*3 =1, x4*4 =0, z* =102 。 即安排甲做 D 项工作,乙做 C 项工作,丙做 A 项工作,丁做 B 项工作,最大收益为 102。 ③ 由于工作多人少,我们假设有一个工人戊,他做各项工作所需的时间均为 0,该问题就 变为安排 5 个人去做 5 项不同的工作的问题了,其目标函数的数学模型为 min z=20x11+19x12+20x13+28x14+17x15+18x21+24x22+27x23+20x24+20x25+26x31+16x32+15x33
+18x34+15x35+17x41+20x42+24x43+19x44+16x45 s.t.
x11+x12+x13+x14+x15=1, x21+x22+x23+x24+x25=1, x31+x32+x33+x34+x35=1, x41+x42+x43+x44+x45=1, x51+x52+x53+x54+x55=1, x11+x21+x31+x41+x51=1, x12+x22+x32+x42+x52=1, x13+x23+x33+x43+x53=1, x14+x24+x34+x44+x54=1,
710

x15+x25+x35+x45+x55=1, xij 为 0?1 变量,i=1,2,3,4,5, j=1,2,3,4,5。 目标函数最优解为 x1*1 =0, x1*2 =1, x1*3 =0, x1*4 =0, x1*5 =0, x2*1 =1, x2*2 =0, x2*3 =0, x2*4 =0, x2*5 =0,x3*1 =0, x3*2 =0, x3*3 =1, x3*4 =0, x3*5 =0, x4*1 =0, x4*2 =0, x4*3 =0, x4*4 =0, x4*5 =1, z* =68。 即安排甲做 B 项工作,乙做 A 项工作,丙做 C 项工作,丁做 E 项工作,最少时间为 68 分钟。 ④ 该问题为人多任务少的问题,其目标函数的数学模型为 min z=20x11+19x12+20x13+28x14+18x21+24x22+27x23+20x24+26x31+16x32+15x33+18x34+17x41
+20x42+24x43+19x44+16x51+17x52+20x53+21x54 s.t.
x11+x12+x13+x14≤1, x21+x22+x23+x24≤1, x31+x32+x33+x34≤1, x41+x42+x43+x44≤1, x51+x52+x53+x54≤1, x11+x21+x31+x41+x51=1, x12+x22+x32+x42+x52=1, x13+x23+x33+x43+x53=1, x14+x24+x34+x44+x54=1, xij 为 0?1 变量,i=1,2,3,4, j=1,2,3,4,5。 目标函数最优解为 x1*1 =0, x1*2 =0, x1*3 =0, x1*4 =0, x2*1 =0, x2*2 =0, x2*3 =0, x2*4 =1, x3*1 =0, x3*2 =0, x3*3 =1, x3*4 =0,x4*1 =1, x4*2 =0, x4*3 =0, x4*4 =0, x5*1 =0, x5*2 =1, x5*3 =0, x5*4 =0, z* =69 。 或 x1*1 =0, x1*2 =0, x1*3 =0, x1*4 =0, x2*1 =1, x2*2 =0, x2*3 =0, x2*4 =0, x3*1 =0, x3*2 =0, x3*3 =1, x3*4 =0,x4*1 =0, x4*2 =0, x4*3 =0, x4*4 =1, x5*1 =0, x5*2 =1, x5*3 =0, x5*4 =0, z* =69 。 或 x1*1 =0, x1*2 =1, x1*3 =0, x1*4 =0, x2*1 =0, x2*2 =0, x2*3 =0, x2*4 =0, x3*1 =0, x3*2 =0, x3*3 =1, x3*4 =0,x4*1 =0, x4*2 =0, x4*3 =0, x4*4 =1, x5*1 =1, x5*2 =0, x5*3 =0, x5*4 =0, z* =69 。 即安排乙做 D 项工作,丙做 C 项工作,丁做 A 项工作,戊做 B 项工作;或安排乙做 A 项 工作,丙做 C 项工作,丁做 D 项工作,戊做 B 项工作;或安排甲做 B 项工作,丙做 C 项工作, 丁做 D 项工作,戊做 A 项工作,最少时间为 69 分钟。 7.解: 设飞机停留一小时的损失为 a 元,则停留两小时损失为 4a 元,停留 3 小时损失为 9a 元, 依次类推,对 A、B、C 三个城市建立的指派问题的效率矩阵分别如表 8-1 至表 8-10 所示。
711

到达

起飞 101

106

4a

107

361a

108

225a

109

484a

110

196a

解得最优解如表 8-2 所示。

到达

起飞 101

106

0

107

0

108

0

109

0

110

1

城市 A
表 8-1

102

103

9a

64a

400a

625a

256a

441a

529a

16a

225a

400a

表 8-2

102

103

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

104
169a 36a 4a 81a 625a
104
0 1 0 0 0

城市 B

到达

表 8-3

起飞

101

102

103

104

101

256a

529a

9a

625a

102

225a

484a

4a

576a

103

100a

289a

441a

361a

113

64a

225a

361a

289a

114

256a

529a

9a

625a

解得最优解如表 8-4 所示。

105
225a 64a 16a 121a 9a
105 0 0 1 0 0
105 36a 25a 576a 484a 36a

712

到达

起飞 101

106

0

107

1

108

0

109

0

110

0

或如表 8-5 所示。

到达

起飞 101

106

0

107

1

108

0

109

0

110

0

到达

起飞 109

104

49a

105

25a

111

169a

112

64a

解得最优解如表 8-7 所示。

到达

起飞 109

104

0

105

0

111

1

112

0

表 8-4

102

103

104

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

表 8-5

102

103

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

城市 C
表 8-6

110

225a 169a 441a 256a

104 0 0 0 1 0
113
225a 169a 441a 256a

表 8-7

110

113

1

0

0

1

0

0

0

0

713

105 0 0 0 0 1
105 1 0 0 0 0
114 49a 25a 169a 64a
114 0 0 0 1

或如表 8-8 所示。

到达

表 8-8

起飞

109

110

113

114

104

0

0

1

0

105

0

1

0

0

111

1

0

0

0

112

0

0

0

1

或如表 8-9 所示。

到达

表 8-9

起飞

109

110

113

114

104

0

1

0

0

105

0

0

1

0

111

0

0

0

1

112

1

0

0

0

或如表 8-10 所示。

表 8-10

到达

起飞

109

110

113

114

104

0

0

1

0

105

0

1

0

0

111

0

0

0

1

112

1

0

0

0

714

第9章 目 标 规 划

1.解:

设工厂生产 A 产品 x1 件,生产 B 产品 x2 件。按照生产要求,建立如下目标规划模型。

min P1(d1? ) + P2 (d2? )

s.t 4x1 + 3x2 ≤ 45

2x1 + 5x2 ≤ 30

5x1 + 5x2 ? d1+ + d1? = 50

8x1

+

6 x2

?

d2+

+

d

? 2

= 100

x1, x2 , di+ , di? ≥ 0,i = 1, 2

由管理运筹学软件求解得 x1 = 11.25, x2 = 0, d1? = 0, d2? = 10, d1+ = 6.25, d2+ = 0

由图解法或进一步计算可知,本题在求解结果未要求整数解的情况下,满意解有无穷多个,为

线段α (135/14,15/ 7) + (1? α )(45/ 4,0),α ∈[0,1] 上的任一点。

2.解:

设食品厂商在电视上发布广告 x1 次,在报纸上发布广告 x2 次,在广播中发布广告 x3 次。目 标规划模型为

min P1(d1? ) + P2 (d2? ) + P3 (d3+ ) + P4 (d4+ )

s.t x1 ≤10

x2 ≤ 20

x3 ≤15

20x1 +10x2 + 5x3 ? d1+ + d1? = 400

0.7 x1

?

0.3x2

?

0.3x3

?

d

+ 2

+

d2?

=

0

? 0.2x1 ? 0.2x2 + 0.8x3 ? d3+ + d3? = 0

2.5x1

+

0.5x2

+

0.3x3

?

d

+ 4

+

d

? 4

=

20

x1, x2 , x3, di+ , di? ≥ 0,i = 1, 2,3, 4

用管理运筹学软件先求下述问题。

min d1?

s.t x1 ≤10

x2 ≤ 20

x3 ≤15

20x1 + 10x2 + 5x3 ? d1+ + d1? = 400

0.7 x1

?

0.3x2

?

0.3x3

?

d2+

+

d

? 2

=

0

? 0.2x1 ? 0.2x2 + 0.8x3 ? d3+ + d3? = 0

2.5x1 + 0.5x2 + 0.3x3 ? d4+ + d4? = 20

x1, x2, x3, di+ , di? ≥ 0,i = 1, 2,3, 4

715

得 d1? = 0 ,将其作为约束条件求解下述问题。

min d2?

s.t x1 ≤10

x2 ≤ 20

x3 ≤15

20x1 + 10x2 + 5x3 ? d1+ + d1? = 400

0.7 x1

?

0.3x2

?

0.3x3

?

d

+ 2

+

d

? 2

=

0

? 0.2x1 ? 0.2x2 + 0.8x3 ? d3+ + d3? = 0

2.5x1

+

0.5x2

+

0.3x3

?

d

+ 4

+

d4?

=

20

d1? = 0

x1, x2 , x3, di+ , di? ≥ 0,i = 1, 2,3, 4

得最优值 d2? = 0 ,将其作为约束条件计算下述问题。 min d3+

s.t x1 ≤10

x2 ≤ 20

x3 ≤15

20x1 +10x2 + 5x3 ? d1+ + d1? = 400

0.7x1 ? 0.3x2 ? 0.3x3 ? d2+ + d2? = 0

? 0.2x1 ? 0.2x2 + 0.8x3 ? d3+ + d3? = 0

2.5x1 + 0.5x2 + 0.3x3 ? d4+ + d4? = 20

d1? = 0

d2? = 0

x1, x2, x3, di+ , di? ≥ 0,i = 1, 2,3, 4

得最优值 d3+ = 0 ,将其作为约束条件计算下述问题。 min d4+

s.t x1 ≤10

x2 ≤ 20

x3 ≤15

20x1 + 10x2 + 5x3 ? d1+ + d1? = 400

0.7 x1

?

0.3x2

?

0.3x3

?

d

+ 2

+

d2?

=

0

? 0.2x1 ? 0.2x2 + 0.8x3 ? d3+ + d3? = 0

2.5x1 + 0.5x2 + 0.3x3 ? d4+ + d4? = 20

d1? = 0

d

? 2

=

0

d3+ = 0

x1, x2 , x3, di+ , di? ≥ 0,i = 1, 2,3, 4

716



x1

=

9.474,

x2

=

20,

x3

=

2.105,

d1+

=

0,

d1?

=

0,

d

+ 2

=

0,

d

? 2

=

0,d3+

=

0,

d3?

=

4.211,

d

+ 4

=

14.316,

d

? 4

=

0。

所以,食品厂商为了依次达到 4 个活动目标,需在电视上发布广告 9.474 次,报纸上发布

广告 20 次,广播中发布广告 2.105 次。(使用管理运筹学软件可一次求解上述问题)

3.解:

(1)设该化工厂生产 x1 升粘合剂 A 和 x2 升粘合剂 B。则根据工厂要求,建立以下目标规划模型。

min

P1 (d1?

+

d

+ 2

)

+

P2 (d3?

+

d

? 4

)

+

P3 (d5? )

s.t

1 3

x1

+

5 12

x2

?

d1+

+

d1?

=

80

1 3

x1

+5 12

x2

?

d

+ 2

+

d

? 2

= 100

x1 ? d3+ + d3? = 100

x2

?

d

+ 4

+

d

? 4

= 120

x1 + x2 ? d5? + d5+ = 300

x1, x2, x3, di+ , di? ≥ 0,i = 1, 2,3, 4,5

(2)

图解法求解如图 9-1 所示,目标 1,2 可以达到,目标 3 达不到,所以有满意解为 A 点(150,120)。

图 9-1 图解法求解

4.解:

设该汽车装配厂为达到目标要求生产产品 A x1 件,生产产品 B x2 件。 (1)目标规划模型如下。

min

P1 (d1+

+

d

+ 2

)

+

P2 (d3?

)

s.t

1 6

x1

+

1 6

x2

?

d1+

+

d1?

=

60

1 3

x1

+

5 6

x2

?

d2+

+

d2?

= 180

4x1 + 3x2 ? d3+ + d3? = 1 300

x1, x2 , x3, di+ , di? ≥ 0,i = 1, 2,3

用图解法求解如图 9-2 所示。

717

图 9-2

如图 9-2 所示,解为区域 ABCD,有无穷多解。 (2)由图 9-2 可知,如果不考虑目标 1 和目标 2,仅仅把它们加工时间的最大限度分别为 60 和 180 小时作为约束条件,而以利润最大化为目标,那么最优解为 C 点(360,0),即生产 产品 A360 件,最大利润为 1 420 元。结果与(1)是不相同的,原因是追求利润最大化而不仅 仅是要求利润不少于 1 300 元。 (3)如果设目标 3 的优先权为 P1,目标 1 和目标 2 的优先权为 P2,则由图 9-2 可知,满意 解的区域依然是 ABCD,有无穷多解,与(1)的解是相同的,原因是(1)和(3)所设定的目 标只是优先级别不同,但都能够依次达到。

5.解: 设该纸张制造厂需要生产一般类型纸张 x1 吨,生产特种纸张 x2 吨。 (1)目标规划模型如下。

min

P1 (d1?

)

+

P2

(d

+ 2

)

s.t 300x1 + 500x2 ? d1+ + d1? = 150 000

30x1

+

40x2

?

d

+ 2

+

d

? 2

= 10

000

x1, x2 , di+ , di? ≥ 0,i = 1, 2

图解法略,求解得

x1

=

0, x2

=

300, d1?

=

0, d2?

=

0, d1+

=

0,

d

+ 2

=

2

000



(2)目标规划模型如下。

min P1(d2+ ) + P2 (d1? )

s.t 300x1 + 500x2 ? d1+ + d1? = 150 000

30x1

+

40x2

?

d

+ 2

+

d2?

= 10

000

x1, x2 , di+ , di? ≥ 0,i = 1, 2

图解法略,求解得

x1

=

0, x2

=

250, d1?

=

25

000, d2?

=

0, d1+

=

0,

d

+ 2

=

0



由此可见,所得结果与(1)中的解是不相同的。

718

(3)加权目标规划模型如下,

min P1(5d2+ + 2d1? )

s.t 300x1 + 500x2 ? d1+ + d1? = 150 000

30x1

+

40x2

?

d

+ 2

+

d

? 2

= 10

000

x1, x2 , di+ , di? ≥ 0,i = 1, 2

求解得

x1

=

0, x2

=

300, d1?

=

0, d2?

=

0, d1+

=

0,

d

+ 2

=

2

000



719

第 10 章 动 态 规 划

1.解: 最优解为 A―B2―C1―D1―E 或 A―B3―C1―D1―E 或 A―B3―C2―D2―E。 最优值为 13。 2.解: 最优解是项目 A 为 300 万元,项目 B 为 0 万元、项目 C 为 100 万元。 最优值 z=71+49+70=190 万元。 3.解: 设每个月的产量是 xi 百台(i=1, 2, 3, 4), 最优解:x1=4,x2=0,x3=4,x4=3。即第一个月生产 4 百台,第二个月生产 0 台,第三 个月生产 4 百台,第四个月生产 3 百台。 最优值 z=252 000 元。 4.解: 最优解为运送第一种产品 5 件。 最优值 z=500 元。 5.解: 最大利润 2 790 万元。最优安排如表 10-1 所示。

年度
1 2 3 4 5

年初完好设备
125 100 80 64 32

表 10-1 高负荷工作设备数
0 0 0 64 32

低负荷工作设备数
125 100 80 0 0

6.解: 最优解(0,200,300,100)或(200,100,200,100)或者(100,100,300,100)或 (200,200,0,200)。总利润最大增长额为 134 万。 7.解: 在一区建 3 个分店,在二区建 2 个分店,不在三区建立分店。最大总利润为 32。 8.解: 最优解为第一年继续使用,第二年继续使用,第三年更新,第四年继续使用,第五年继续 使用,总成本=450 000 元。 9.解: 最优采购策略为若第一、二、三周原料价格为 500 元,则立即采购设备,否则在以后的几 周内再采购;若第四周原料价格为 500 元或 550 元,则立即采购设备,否则等第五周再采购;

720

而第五周时无论当时价格为多少都必须采购。期望的采购价格为 517 元。 10.解: 最优解为第一批投产 3 台,如果无合格品,第二批再投产 3 台,如果仍全部不合格,第三
批投产 4 台。总研制费用最小为 796 元。 11.解:

月份

表 10-2 采购量

待销数量

1

900

200

2

900

900

3

900

900

4

0

900

最大利润为 13 500。

12.解:

最优策略为(1,2,3)或者(2,1,3),即该厂应订购 6 套设备,可分别分给三个厂 1,2,3 套或 者 2,1,3 套。每年利润最大为 18 万元。

721

第 11 章 图与网络模型

1.解:
这是一个最短路问题,要求我们求出从 v1 到 v7 配送的最短距离。用 Dijkstra 算法求解可得 到该问题的解为 27。我们也可以用管理运筹学软件进行计算而得出最终结果,计算而得出最终 结果如下。
从节点 1 到节点 7 的最短路

*************************

起点

终点

距离

----

----

----

1

2

4

2

3

12

3

5

6

5

7

5

解为 27,即配送路线为 v1 → v2 → v3 → v5 → v7 。 2.解:

这是一个最短路的问题,用 Dijkstra 算法求解可得到这问题的解为 4.8,即在 4 年内购买、

更换及运行维修最小的总费用为 4.8 万元。

最优更新策略为第一年末不更新,第二年末更新,第三年末不更新,第四年末处理机器。

我们也可以用管理运筹学软件进行求解,结果也可以得出此问题的解为 4.8。

3.解:

此题是一个求解最小生成树的问题,根据题意可知它要求出连接 v1 到 v8 的最小生成树,结 果如下。

最小生成树

*************************

起点

终点

距离

----

----

----

1

3

2

3

4

2

1

2

4

2

5

2

5

7

3

7

8

2

7

6

3

解为 18。

722

4.解:

此题是一个求解最大流的问题,根据题意可知它要求出连接 v1 到 v6 的最大流量。使用管理 运筹学软件,结果如下。

v1 从节点 1 到节点 6 的最大流

*************************

起点 终点

距离

----

----

----

1

2

6

1

4

6

1

3

10

2

4

4

2

5

8

3

4

6

3

6

5

4

5

5

4

6

6

5

6

12

解为 22,即从 v1 到 v6 的最大流量为 22。 5.解:

此题是一个求解最小费用最大流的问题,根据题意可知它要求出连接 v1 到 v6 的最小费用最 大流量。使用管理运筹学软件,结果如下。

从节点 1 到节点 6 的最大流

*************************

起点

终点

流量

费用

----

----

----

----

1

2

1

3

1

3

4

1

3

2

1

1

2

4

2

4

3

5

3

3

4

6

2

4

5

6

3

2

此问题的最大流为 5。

此问题的最小费用为 39。

723

第 12 章 排序与统筹方法
1.解: 各零件的平均停留时间为 6 p1 + 5 p2 + 4 p3 + 3 p4 + 2 p5 + p6 。
6 由此公式可知,要让停留的平均时间最短,应该让加工时间越少的零件排在越前面,加工 时间越多的零件排在后面。所以,此题的加工顺序为 3,7,6,4,1,2,5。 2.解: 此题为两台机器,n 个零件模型,这种模型加工思路为钻床上加工时间越短的零件越早加 工,同时把在磨床上加工时间越短的零件越晚加工。 根据以上思路,则加工顺序为 2,3,7,5,1,6,4。
图 12-1
钻床的停工时间是 0,磨床的停工时间是 7.8。 3.解: (1)工序 j 在绘制上有错,应该加一个虚拟工序来避免 v3 和 v4 有两个直接相连的工序。 (2)工序中出现了缺口,应在 v6 和 v7 之间加一个虚拟工序避免缺口。 (3)工序 v1 、 v2 、 v3 和 v4 之间存在了闭合回路。 4.解:
图 12-2
5.解: 由管理运筹学软件可得出如下结果。
724

工序安排 工序 最早开始时间 最迟开始时间 最早完成时间 最迟完成时间 时差 是否关键工序

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A

0

0

2

2

2



B

0

C

4

D

4

E

4

F

9

0

4

5

9

4

8

5

7

10

11

4

0

YES

10

1



8

0

YES

8

1



12

1



G

8

8

12

12

0

YES

本问题关键路径是 B—D—G。

本工程完成时间是 12。

6.解:

由管理运筹学软件可得出如下结果。

工序

期望时间

方差

----

--------

-----

A

2.08

0.07

B

4.17

0.26

C

4.92

0.18

D

4.08

0.18

E

3.08

0.07

F

2.17

0.26

G

3.83

0.26

工序安排

工序 最早开始时间 最迟开始时间 最早完成时间 最迟完成时间 时差 是否关键工序

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A

0

0

2.08

2.08 2.08



B

0

C

4.17

0

4.17

4.17

0

YES

5

9.08

9.92 0.83



D

4.17

4.17

8.25

8.25

0

YES

E

4.17

5.17

7.25

8.25

1



F

9.08

9.92

11.25

12.08 0.83



G

8.25

8.25

12.08

12.08

0

YES

本问题关键路径是 B—D—G。 本工程完成时间是 12.08。 这个正态分布的均值 E(T ) =12.08。

725

其方差为σ 2 =σb2 +σ d 2 +σ g2 =0.70 则σ =0.84。当以 98%的概率来保证工作如期完成时,
即φ(u) = 0.98 ,所以 u=2.05。此时提前开始工作的时间T满足 T ?12.08 =2.05,所以T=13.8≈14 0.84
7.解: 最短的施工工时仍为 4+5+6=15。 具体的施工措施如下。

工序 最早开始时间 最迟开始时间 最早完成时间 最迟完成时间 时差 是否关键工序

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A

0

0

1

1

0



B

0

0

3

3

0



C

7

7

10

10

0



D

0

0

4

4

0

YES

E

1

2

3

4

1



F

3

3

7

7

0



G

3

6

6

9

3

H

4

4

9

9

0

YES

I

10

10

15

15

0



J

7

9

13

15

2



K

9

9

15

15

0

YES

本问题关键路径是 D—H—K。

本工程最短完成时间是 15。

经过这样调整后,任意时间所需要的人力数都不超过 15 人。

8.解:

此题的网络图如图 12-3 所示。

图 12-3
设第 i 发生的时间为 xi ,工序(i, j)提前完工的时间为 yij , 目标函数 min f = 4.5(x4 ? x1) + 4 y12 + y24 + 4 y23 + 2 y34
s.t.
726

x2 ? x1 ≥ 3 ? y12 x3 ? x2 ≥ 4 ? y23 x4 ? x2 ≥ 7 ? y24 x4 ? x3 ≥ 5 ? y34 x1 = 0 y12 ≤ 2 y23 ≤ 2 y24 ≤ 4 y34 ≤ 3 xi ≥ 0, yij ≥ 0 以上 i=1,2,3,4; j=1,2,3,4。 用管理运筹学软件中的线性规划部分求解,得到如下结果。
f *=46.5, x1=0, x2=1, x3=5, x4=7, y12=2, y23=0, y24=1, y34=3。
727

第 13 章 存 储 论

1.解: 运用经济定购批量存储模型,可以得到如下结果。

① 经济订货批量 Q* = 2Dc3 = 2 × 4 800 × 350 ≈ 579.66 (件)。

c1

40 × 25%

② 由于需要提前 5 天订货,因此仓库中需要留有 5 天的余量,故再订货点为 4 800 × 5 = 96(件)。 250

③ 订货次数为 4 800 ≈ 8.28 (次),故两次订货的间隔时间为 250 ≈ 30.19 (工作日)。

579.7

8.28



每年订货与存储的总费用

TC

=

1 2

Q*c1

+

D Q*

c3



5

796.55

(元)。

(使用管理运筹学软件,可以得到同样的结果。)

2.解:

运用经济定购批量存储模型,可以得到如下结果。

① 经济订货批量 Q* = 2Dc3 = 2 ×14 400 ×1800 ≈ 379.47 (吨)

c1

1500 × 24%

② 由于需要提前 7 天订货,因此仓库中需要留有 7 天的余量,故再订货点为

14 400 × 7 ≈ 276.16 (吨) 365

③ 订货次数为 14 400 ≈ 37.95 (次),故两次订货的间隔时间为 365 ≈ 9.62 (天)

379.47

37.95



每年订货与存储的总费用

TC

=

1 2

Q*c1

+

D Q*

c3



136

610.4

(元)

(使用管理运筹学软件,可以得到同样的结果。)

3.解:

运用经济定购批量存储模型,可得如下结果。

① 经 济 订 货 批 量 Q* = 2Dc3 = 8 0002 × 22% ,
p

2Dc3 = c1

2Dc3 = 8 000 , 其 中 p 为 产 品 单 价 , 变 换 可 得 p × 22%

当存储成本率为 27%时, Q*' = 2Dc3 = 2Dc3 = 8 0002 × 22% ≈ 7 221(箱)。

c1'

p × 27%

27%

② 存储成本率为 i 时,经济订货批量 Q* = 2Dc3 = 2Dc3 ,

c1

p×i

其中 p 为产品单价,变换可得 2Dc3 = Q*2 ? i ,当存储成本率变为 i'时, p

728

Q*' = 2Dc3 = 2Dc3 = Q*2 ? i 。

c1'

p × i'

i'

4.解:

运用经济生产批量模型,可得如下结果。

① 最优经济生产批量 Q* =

2Dc3 =

? ?1

?

?

d p

?

? ?

c1

2 ×18 000 ×1 600 ≈ 2 309.4 (套)。

? ?1 ?

?

18 30

000 000

? ? ?

×150

×18%

② 每年生产次数为 18 000 ≈ 7.79 (次)。 2 309.4

③ 两次生产间隔时间为 250 ≈ 32.08 (工作日)。 7.79
④ 每次生产所需时间为 250 × 2 309.4 ≈ 19.25 (工作日)。 30 000



最大存储水平为

? ?1

?

?

d p

? ?

Q*

?



923.76

(套)。



生产和存储的全年总成本为 TC

=

1 2

(1 ?

d p

)Q*c1

+

D Q*

c3



24

941.53

(元)。

⑦ 由 于 生 产 准 备 需 要 10 天 , 因 此 仓 库 中 需 要 留 有 10 天 的 余 量 , 故 再 订 货 点 为

18 000 ×10 = 720 (套)。 250

(使用管理运筹学软件,可以得到同样的结果。)

5.解:

运用经济生产批量模型,可得如下结果。

① 最优经济生产批量 Q* =

2Dc3 =

? ?1

?

?

d p

?

? ?

c1

2 × 30 000 ×1 000 ≈ 2 344.04 (件)。

? ?1 ?

?

30 50

000 000

? ? ?

×130

×

21%

② 每年生产次数为 30 000 ≈ 12.8 (次)。 2 344.04

③ 两次生产间隔时间为 250 ≈ 19.53 (工作日)。 12.8
④ 每次生产所需时间为 250 × 2 344.04 ≈ 11.72 (工作日)。 50 000



最大存储水平为

? ?1

?

?

d p

? ?

Q*

?



937.62

(件)。



生产和存储的全年总成本为 TC

=

1 2

? ?1

?

?

d p

? ?

Q*c1

?

+

D Q*

c3



25

596.88

(元)。

729

⑦ 由于生产准备需要 5 天,因此仓库中需要留有 5 天的余量,故再订货点为 30 000 × 5 ≈ 250
600 (件)。 (使用管理运筹学软件,可以得到同样的结果。)
6.解: 运用允许缺货的经济定购批量模型,可以得到如下结果。

① 最优订货批量 Q* = 2Dc3(c1 + c2 ) = 2 × 4 800 × 350(10 + 25) ≈ 685.86 (件)。

c1c2

10 × 25

② 最大缺货量 S* = 2Dc3c1 = 2 × 4 800 × 350 ×10 ≈ 195.96 (件),

c2 (c1 + c2 )

25× (10 + 25)

另外由于需要提前 5 天订货,因此仓库中需要留有 5 天的余量,即在习题 1 中所求出的 96

件,故再订货点为?195.96+96=?99.96(件)

③ 订货次数为 4 800 ≈ 7.0 (次),故两次订货的间隔时间为 250 ≈ 35.7 (工作日)。

685.86

7



每年订货、存储与缺货的总费用

TC

=

(Q* ? S*)2 2Q*

c1

+

D Q*

c3

+

S *2 2Q*

c2

≈ 4 898.98 (元)。

⑤ 显然,在允许缺货的情况下,总花费最小。因为在允许缺货时,企业可以利用这个宽松

条件,支付一些缺货费,少付一些存储费和订货费,从而可以在总费用上有所节省。

(使用管理运筹学软件,可以得到同样的结果。)

7.解: 运用允许缺货的经济生产批量模型,可得如下结果。

① 最优经济生产批量Q* =

2Dc3 (c1 + c2 ) =

? ?1 ?

?

d p

? ? ?

c1c2

2 × 30 000 ×1 000(27.3 + 30) ≈ 3 239.52 (件)。

? ?1 ?

?

30 50

000 000

? ? ?

×

27.3

×

30

② 最大缺货量 S* =

2

Dc3c1

? ?1 ?

?

d p

? ? ?

=

c2 (c1 + c2 )

2 × 30

000 ×

27.3

×1

000

×

? ?1

?

?

30 50

000 ?

000

? ?



617.37(件),

30 × (27.3 + 30)

另外由于需要 5 天来准备生产,因此要留有 5 天的余量,即在习题 5 中所求出的 600 件,

故再生产点为?617.37+600=?17.37(件)

③ 生产次数为 30 000 ≈ 9.26 (次),故两次订货的间隔时间为 250 ≈ 27 (工作日)。

3 239.52

9.26

④ 每年生产准备、存储与缺货的总费用 TC =

2

Dc1c2

c3

? ?1 ?

?

d p

? ? ?

≈ 18

521.25 (元)。

(c1 + c2 )

⑤ 显然,在允许缺货的情况下,总花费最小。因为在允许缺货时,企业可以利用这个宽松

条件,支付一些缺货费,少付一些存储费和生产准备费,从而可以在总费用上有所节省。

(使用管理运筹学软件,可以得到同样的结果。)

730

8.解: 运用经济订货批量折扣模型,已知根据定购数量不同,有四种不同的价格。我们可以求得 这四种情况的最优订货量如下。 当订货量 Q 为 0~99 双时,有

Q1* =

2Dc3 = c1'

2 × 2 000 × 300 ≈ 129 (个); 360 × 20%

当订货量 Q 为 100~199 双时,有

Q2* =

2Dc3 = c1"

2 × 2 000 × 300 ≈ 137 (个); 320 × 20%

当订货量 Q 为 200~299 双时,有

Q3* =

2Dc3 = c1"'

2 × 2 000 × 300 ≈ 141 (个); 300 × 20%

当订货量 Q 大于 300 双时,有

Q4* =

2Dc3 = c1""

2 × 2 000 × 300 ≈ 146 (个)。 280 × 20%

可以注意到,在第一种情况下,我们用订货量在 0~99 时的价格 360 元/双,计算出的最优
订货批量 Q1* 却大于 99 个,为 129 个。为了得到 360 元/双的价格,又使得实际订货批量最接近
计算所得的最优订货批量 Q1* ,我们调整其最优订货批量 Q1* 的值,得 Q1* = 99 双。
同样我们调整第三种和第四种情况得最优订货批量 Q3* 和 Q4* 的值,得 Q3* =200 双, Q4* = 300 双。
可以求得当 Q1*=99 双,Q2*=137 双,Q3*=200 双,Q4*=300 双时的每年的总费用如表 13-1 所示。

折扣等级 旅游鞋单价

最优订货 批量 Q*

1

360

99

2

320

137

3

300

200

4

280

300

表 13-1

存储费

1 2

Q*c1

3 564 4 384 6 000 8 400

每年费用

订货费 D Q* c3

购货费 DC

6 060.606 4 379.562 3 000 2 000

720 000 640 000 600 000 560 000

总费用
729 624.6 648 763.6 609 000 570 400

由表 13-1 可知,最小成本的订货批量为 Q*=300 双,

731

此时花费的总成本

TC=

1 2

Q*c1

+

D Q*

c3

+D·c=570

400(元),

若每次的订货量为

500

双,则此时的总成本

TC=

1 2

Qc1

+

D Q

c3

+D·c=575

200(元),

这时要比采取最小成本订货时多花费 4 800 元。

(使用管理运筹学软件,可以得到同样的结果。)

9.解: ① 在不允许缺货时,运用经济订货批量模型,可知此时的最小成本

TC

=

1 2

Q*c1

+

D Q*

c3



848.53

(元);

在允许缺货时,运用允许缺货的经济订货批量模型,可知此时的最小成本为

TC=

(Q* ? S 2Q*

*)2

c1

+

D Q*

c3

+

S *2 2Q*

c2

≈791.26(元)。

所以,在允许缺货时,可以节约费用 57.27 元。 (使用管理运筹学软件,可以得到同样的结果。)



a. S* = c1 Q* c1 + c2

= 3 × 303 = 3 × 303

3 + 20

23

S* = 3 = 13% ≤15% Q* 23

b.补上的时间不得超过 3 周。

t2

=

S* d

=

39.5 800

=

39.5× 365 800

= 18 天≤21 天

365

故现采用的允许缺货的政策满足补上的数量不超过总量的 15%,补上的时间不超过 3 周的 条件,故仍该采用允许缺货的政策。

由于每年的平均需求量为 800 件,可知每年平均订货 800 ≈ 2.83 次。 282.84

根据服务水平的要求,P(一个月的需求量≤r)=1– ? =1–0.15=0.85,其中 r 为再订货点。

由于需求量服从正态分布

N(46,10),上式即为

Φ

? ??

r

? σ

μ

? ??

=

0.85



查标准正态分布表,即得 r ? μ = 1.036 ,故 r=1.036σ + μ=1.036×10+46≈56.36 件。 σ

进而可以求得此时的总成本(存储成本和订货成本)为 879.64 元,大于不允许缺货时的总

成本 848.53 元。

故公司不应采取允许缺货的政策。

732

10.解:

运用需求为随机的单一周期的存储模型,已知 k=16,h=22,有 k = 16 ≈ 0.4 211 , k + h 16 + 22

10
Q=11 时,有 ∑ p(d ) = p(8) + p(9) + p(10) = 0.33 , d =0

11
∑ p(d ) = p(8) + p(9) + p(10) + p(11) = 0.53 。
d =0

∑ ∑ 10
此时满足 p(d ) <

k

11
≤ p(d) 。

d =0

k + h d=0

故应定购 11 000 瓶,此时赚钱的期望值最大。

11.解:

① 运用需求为随机的单一周期的存储模型,已知 k=1 400,h=1 300,有

k = 1 400 ≈ 0.52 ,故有 P(d≤Q*)= k = 0.52 ,

k + h 1 400 +1300

k+h

由于需求量服从正态分布

N(250,80),上式即为

Φ

? ??

Q* ? σ

μ

? ??

=

0.52



查标准正态分布表,即得 Q* ? μ = 0.05 ,故 Q*=0.05σ +μ=0.05×80+250=254(台)。 σ

② 商店卖出所有空调的概率是 P(d >Q*)=1–0.52=0.48。

(使用管理运筹学软件,可以得到同样的结果。)

12.解:

① 运用需求为随机的单一周期的存储模型,

已知 k=1.7,h=1.8,有 k = 1.7 ≈ 0.49 ,故有 P(d≤Q*)= k = 0.49 ,

k + h 1.7 +1.8

k+h

由于需求量服从区间(600,1 000)上的均匀分布,则可得 Q* ? 600 = 0.49 ,故 Q*=796 只。 1 000 ? 600

② 商场缺货的概率是 P(d>Q*)=1–0.49=0.51。

(使用管理运筹学软件,可以得到同样的结果。)

13.解:

运用需求为随机变量的定货批量、再订货点模型。

首先按照经济订货批量模型来求出最优订货批量 Q*,已知每年的平均需求量 D = 450 ×

12=5 400(立方米),c1=175 元/立方米·年,c3=1 800 元,得 Q* =

2Dc3 ≈ 333.3 (立方米)。 c1

由于每年的平均需求量为 5 400 立方米,可知每年平均订货 5 400 ≈ 16.2 (次)。 333.3

根据服务水平的要求,P(一个月的需求量≤r)=1?α=1?0.05=0.95,其中 r 为再订货点。

由于需求量服从正态分布

N(450,70),上式即为

Φ

? ??

r

? σ

μ

? ??

=

0.95



733

查标准正态分布表,即得 r ? μ = 1.645 ,故 r=1.645σ +μ=1.645×70+450≈565(立方米)。 σ

综上所述,公司应采取的策略是当仓库里剩下 565 立方米木材时,就应订货,每次的订货

量为 333.3 立方米。

(使用管理运筹学软件,可以得到同样的结果。)

14.解:

运用需求为随机变量的定期检查存储量模型。

设该种笔记本的存储补充水平为 M,由统计学的知识可得如下结果。

P(笔记本的需求量 d≤M)=1?α=1?0.1=0.9,由于在 17 天内的笔记本需求量服从正态分布

N(280,40),上式即为

Φ

? ??

M? σ

μ

? ??

=

0.9



查标准正态分布表,得

M? σ

μ

= 1.28

,故

M=1.28σ

+μ=1.28×40+280≈331.2(立方米)。

734

第 14 章 排 队 论
1.解: M/M/1 系统,λ=50 人/小时,μ=80 人/小时。 ① 顾客来借书不必等待的概率 P0=0.375; ② 柜台前的平均顾客数 Ls=1.666 7; ③ 顾客在柜台前平均逗留时间 Ws=0.033 3 小时; ④ 顾客在柜台前平均等候时间 Wq=0.020 8 小时。 2.解: M/M/1 系统,λ=2 人/小时,μ1=3 人/小时,?μ2=4 人/小时。 ① P0=0.333 3,Lq=1.333 3,Ls=2,Wq=0.667 小时,Ws=1 小时; ② P0=0.5,Lq=0.5,Ls=1,Wq=0.25 小时,Ws=0.5 小时; ③ 因为 Z1=74 元/小时,Z2=50 元/小时,故应选择理发师乙。 3.解: ① M/M/1 系统,λ=30 人/小时,μ=40 人/小时,P0=0.25,Lq=2.25,Ls=3,Wq=0.075 小时, Ws=0.1 小时; ② a.M/M/1 系统,λ=30 人/小时,μ=60 人/小时,P0=0.5,Lq=0.5,Ls=1,Wq=0.016 7 小时, Ws=0.033 3 小时; b.M/M/2 系统,λ=30 人/小时,μ=40 人/小时,P0=0.454 6,Lq=0.122 7,Ls=0.872 7,Wq=0.004 1 小时,Ws=0.029 1 小时。 系统二明显优于系统一。 4.解: M/G/1 系统,λ=5 辆/小时,μ=12 辆/小时,P0=0.583 3,Lq=0.172 6,Ls=0.589 2,Wq=0.034 5 小时,Ws=0.117 9 小时。 5.解: M/M/1 系统,λ=10 人/小时,μ=20 人/小时,可以得出顾客排队时间为 Wq=3 分钟,因为还有 一个人在等候,其通话时间也为 3 分钟,故有 Wq+3 分钟<4 分钟+3 分钟,故不应该去另一电话亭。 6.解: M/D/1 系统,λ=5 辆/小时,μ=12 辆/小时,P0=0.583 3,Lq=0.148 8,Ls=0.565 5,Wq=0.029 8 小时,Ws=0.113 1 小时,Pw=0.416 7。 7.解: M/G/C/C/∞系统,要使接通率为 95%,就是使损失率降到 5%以下,由 λ=(2×0.3+0.7)× 300+120=510 次/小时,μ=30 次/小时;要求外线电话接通率为 95%以上,即 Pw<0.05。 当 n=15 时,Pw=0.244; 当 n=16 时,Pw=0.205 9; 当 n=17 时,Pw=0.170 7;
735

当 n=18 时,Pw=0.138 8; 当 n=19 时,Pw=0.110 5; 当 n=20 时,Pw=0.085 9; 当 n=21 时,Pw=0.065; 当 n=22 时,Pw=0.047 8; 故系统应设 22 条外线才能满足外线电话接通率为 95%以上。 8.解: M/M/n/∞/M,λ=1 台/小时,μ=4 台/小时。 至少需要 2 名修理工才能保证及时维修机器故障。 ① 假设雇佣 1 名修理工,则系统为 M/M/1/∞/10 模型, Ls=6.021 2,Wq=1.263 3 小时,Ws=1.513 3 小时,Z=451.274 元; 假设雇佣 2 名修理工,则系统为 M/M/2/∞/10 模型, Ls=3.165 9,Wq=0.213 2 小时,Ws=0.463 2 小时,Z=369.952 元; 假设雇佣 3 名修理工,则系统为 M/M/3/∞/10 模型, Ls=2.259 3,Wq=0.041 9 小时,Ws=0.291 9 小时,Z=405.555 元。 故雇佣 2 名修理工时总费用最小,为 369.952 元。 ② 等待修理时间不超过 0.5 小时,即要求 Wq<0.5。 当雇佣 2 名修理工时,Wq=0.213 2 小时<0.5 小时。 可得当雇佣人数大于或等于 2 名修理工时可以满足等待修理时间不超过 0.5 小时。 9.解: ① M/M/1/2 系统,λ=3 人/小时,μ=5 人/小时。 λe=2.45 人/小时,Lq=0.183 7,Ls=0.673 5,Wq=0.075,Ws=0.275。 ② M/M/1/3 系统,λ=3 人/小时,μ=5 人/小时。 λe=2.702 人/小时,Lq=0.364,Ls=0.904 4,Wq=0.134 7,Ws=0.334 7。
736

第 15 章 对 策 论

1.解:

因为

max i

min j

aij

=

min j

max i

aij

=

0

,所以最优纯策略为 (α2 , β2

)

,对策值为

0。

2.解: ① A、B 两家公司各有 8 个策略,分别表示为 α1 或 β1 —不做广告; α2 或 β2 —做电视 广告;α3 或 β3 —做电视和报纸广告;α4 或 β4 —做电视和广播广告;α5 或 β5 —做电视、 报纸和广播广告; α6 或 β6 —做报纸广告; α7 或 β7 —做报纸、广播广告; α8 或 β8 —做 广播广告。
局中人 A 的损益矩阵如下。

β1

α1 ? 0

α

2

? ?

0.25

A

?

0.5E8×8

=

α3 α4 α5

? ? ? ? ?

0.4 0.35 0.5

α6 ? 0.15

α7 α8

? ???

0.25 0.1

β2 ?0.25
0 0.15 0.1 0.25 ?0.1
0 ?0.15

β3 ?0.4 ?0.15
0 ?0.05
0.1 ?0.25 ?0.15 ?0.3

β4 ?0.35 ?0.1 0.05
0 0.15 ?0.2 ?0.1 ?0.25

β5 ?0.5 ?0.25 ?0.1 ?0.15
0 ?0.35 ?0.25 ?0.4

β6 ?0.15
0.1 0.25 0.2 0.35
0 0.1 ?0.05

β7 ?0.25
0 0.15 0.1 0.25 ?0.1
0 ?0.05

β8

?0.1?

0.15

? ?

0.3 ?

?

0.25 ?

0.4

? ?

0.05 ?

0.15 0

? ???



由损益矩阵可得,

max i

min j

aij

=

min j

max i

aij

=0。

故甲应该采取第α5 策略,乙应该采取第 β5 策略,对策值为 0。 3.解:

求超市 A 的最优策略的线性规划模型如下。

min x1 + x2 + x3 + x4 s.t 3x1 + 4x3 ? 5x4 ≥1
6x2 ? 2x3 ? x4 ≥1 4x1 ? x2 + 3x3 + 8x4 ≥1 ? 2x1 ? 3x2 + 5x3 + 7x4 ≥1 x1, x2 , x3, x4 ≥ 0

用管理运筹学软件求得 x1 = 0.002, x2 = 0.275, x3 = 0.304, x4 = 0.044 。



1 v

=

x1

+

x2

+

x3

+

x4



v

=

1.6



由 xi′ = v ? xi 可得 x1′ = 0.003 2, x2′ = 0.44, x3′ = 0.486 4, x4′ = 0.070 4 。

737

所以超市 A 的最优策略是以 0.003 2 的概率采取策略α1 ,以 0.44 的概率采取策略α2 ,以 0.486 4 的概率采取策略α3 ,以 0.070 4 的概率采取策略α4 ,平均市场份额增加的百分数为 1.6。
求超市 B 的最优策略的线性规划模型如下。

max y1 + y2 + y3 + y4 s.t 3y1 + 4 y3 ? 2 y4 ≤1
6 y2 ? y3 ? 3y4 ≤1 4 y1 ? 2 y2 + 3y3 + 5 y4 ≤1 ? 5 y1 ? y2 + 8x3 + 7 y4 ≤1 y1, y2 , y3, y4 ≥ 0 用管理运筹学软件求得 y1 = 0.142, y2 = 0.233, y3 = 0.18, y4 = 0.072 。



1 v

=

y1

+

y2

+

y3

+

y4



v

= 1.6



由 yi′ = v ? yi 可得 y1′ = 0.227 2, y2′ = 0.372 8, y3′ = 0.288 0, y4′ = 0.115 2 。 所以超市 B 的最优策略是以 0.227 2 的概率采取策略 β1 ,以 0.372 8 的概率采取策略 β2 ,以 0.288 0 的概率采取策略 β3 ,以 0.115 2 的概率采取策略 β4 ,平均市场份额增加的百分数为 1.6。 使用管理运筹学软件可从损益矩阵直接求得上述答案如图 15-1 所示,结果差异是由计算误

差所致。

图 15-1

4.解:
甲、乙两队让自己的运动健将参加三项比赛中的两项的策略各有 c32 = 3 种,分别为 α1 , β1 —参加 100 米蝶泳和 100 米仰泳; α2 , β2 —参加 100 米蝶泳和 100 米蛙泳; α3 , β3 —参加 100 米仰泳和 100 米蛙泳; 则甲队的损益矩阵为
β1 β2 β3 α1 ?13 12 12? α2 ??12 12 13?? = A α3 ??12 13 14??

? ?0.5 ?1.5 ?1.5?

?1 1 1?

A

? 13.5 E3×3

=

? ?

?1.5

?1.5

?0.5?? ,其中 E3×3 = ??1

1

1??

?? ?1.5 ?0.5 0.5 ??

??1 1 1??

738

采用优超原则简化后得矩阵

β1

α1 ? ?0.5

α3

? ?

?1.5

β2

?1.5 ?0.5

? ? ?

=

B

B

+

2 E2×2

=

? 1.5

? ?

0.5

0.5 ?

1.5

? ?

求得

x? = (0.5,0.5)T , y? = (0.5,0.5)T , V ? = 1, V = 1? 2 = ?1。

即甲以 0.5 的概率出α1 策略,以 0.5 的概率出α3 策略,平均得分为 13.5?1=12.5; 乙以 0.5 的概率出 β1 策略,以 0.5 的概率出 β2 策略,平均得分为 13.5+1=14.5。
5.解:

设齐王和田忌赛马的策略分别有

α1 , β1 —以上中下的次序出马; α2 , β2 —以上下中的次序出马; α3 , β3 —以中上下的次序出马; α4 , β4 —以中下上的次序出马; α5 , β5 —以下上中的次序出马; α6 , β6 —以下中上的次序出马。 齐王的损益矩阵为

β1 β2 β3 β4 β5 β6 α1 6 4 2 4 0 4 α2 2 6 2 4 2 0 α3 0 ?2 6 4 4 4 α4 ?4 0 2 6 2 2 α5 0 0 0 ?2 6 4 α6 0 0 ?4 0 2 6 建立相互对偶的线性规划模型,得

min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6

s.t 6x1 + 2x2 ? 4x4 ≥1

4x1 + 6x2 ? 2x3 ≥1

齐王:

2x1 + 2x2 + 6x3 + 2x4 ? 4x6 ≥1 4x1 + 4x2 + 4x3 + 6x4 ? 2x5 ≥1

2x2 + 4x3 + 2x4 + 6x5 + 2x6 ≥1

4x1 + 4x3 + 2x4 + 4x5 + 6x6 ≥1

xi ≥ 0,i = 1, 2,…,6

由管理运筹学软件求解,得

x1 = 0.13, x2 = 0.109, x3 = 0.087, x4 = 0, x5 = 0.072, x6 = 0 。

739



1 v

=

x1

+

x2

+

x3

+

x4

+

x5

+

x6



v

=

2.512

6



由 xi′ = v ? xi 可得 x1′ = 0.326 6, x2′ = 0.273 9, x3′ = 0.218 6, x4′ = 0, x5′ = 0.180 9, x6′ = 0 。

所以齐王的最优对策是以 0.326 6 的概率出α1 ,以 0.273 9 的概率出α2 ,以 0.218 6 的概率出α3 ,

以 0.180 9 的概率出α5 。 min y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6

s.t 6 y1 + 4 y2 + 2 y3 + 4 y4 + 4 y6 ≤1

2 y1 + 6 y2 + 2 y3 + 4 y4 + 2 y5 ≤1

田忌:

? 2 y2 + 6 y3 + 4 y4 + 4 y5 + 4 y6 ≤1 ? 4 y1 + 2 y3 + 6 y4 + 2 y5 + 2 y6 ≤1

? 2 y4 + 6 y5 + 4 y6 ≤1

? 4 y3 + 2 y5 + 6 y6 ≤1

yi ≥ 0,i = 1, 2,…, 6

由管理运筹学软件求解,得

y1 = 0.109, y2 = 0.051, y3 = 0.072, y4 = 0, y5 = 0.167, y6 = 0 。

由1= v

y1 +

y2

+

y3 +

y4

+

y5 +

y6 得 v = 2.506 3 (与上面

2.512 6

不同,是由计算误差导致)。

由 yi′ = v ? yi 可得

y1′ = 0.273 2, y2′ = 0.127 8, y3′ = 0.180 5, y4′ = 0, y5′ = 0.418 5, y6′ = 0 。 所以,田忌的最优对策是以 0.273 2 的概率出 β1 ,以 0.127 8 的概率出 β2 ,以 0.180 5 的概 率出 β3 ,以 0.418 5 的概率出 β5 。

使用管理运筹学软件可从损益矩阵直接求得上述问题答案,如图 15-2 所示,结果差异是由

计算误差所致。

图 15-2

740

第 16 章 决 策 分 析

1.解: 公司收益表如表 16-1 所示。

自然状态 方案

表 16-1

N1

N2

N3

N4

S1

15

8

0

?6

S2

4

14

8

3

S3

1

4

10

12

① S2 方案最优。 ② S1 方案最优。 ③ S2 方案最优。 ④ S2 方案最优。 ⑤ 后悔矩阵如表 16-2 所示。



状态



收 益

N1

N2

方案



S1

0

6

S2

11

0

S3

14

10

表 16-2
N3
10 2 0

N4

max
1≤ j≤4

ai′j

18

18

9

11(min)

0

14

故 S2 方案最优。 2.解: ① 面包进货问题的收益矩阵为

N1=S5=360, N2=S4=300, N3=S3=240, N4=S2=180, N5=S1=120。

表 16-3



需求量



收 益

N1

N2

N3

N4

N5

订货量



S1

84

84

84

84

84

S2

126

126

126

126

60

S3

168

168

168

102

36

S4

210

210

144

78

12

S5

252

186

120

54

?12

741

② 用最大最小准则得最优方案为 S1。 用最大最大准则得最优方案为 S5。 用后悔值法,后悔矩阵如表 16-4 所示。

公 司

需求量

收 益

N1

订货量



S1

168

S2

126

S3

84

S4

42

S5

0

表 16-4

N2

N3

N4

126

84

42

84

42

0

42

0

24

0

24

48

24

48

72

N5

max
1≤ j≤5

ai′j

0

168

24

126

48

84

72

72(min)

96

96

得最优方案为 S4,用乐观系数法得最优方案为 S5。 3.解: 由第 2 题中需求量的分布概率已知,E(S1)=84,E(S2)=119.4,E(S3)=141.6,E(S4)=144, E(S5)=126.6。 故用期望值法得最优方案为 S4。 4.解: N1 表示不合格品的概率为 0.05,N2 表示不合格品的概率为 0.25,由题可得
P(N1)=0.8, P(N2)=0.2, ① 用 S1 表示检验,S2 表示不检验,则该问题的收益矩阵如表 16-5 所示。

表 16-5

自然状态

公司费用

N1

N2

方案

S1

1 500

S2

750

1 500 3 750

② E(S1)=1 500×0.8+1 500×0.2=1 500(元), E(S2)=750×0.8+3 750×0.2=1 350(元), S2 为最优检验方案。
③ E(S1)=1 500, E(S2)=750P+3 750(1?P)=3 750?3 000P, 当 E(S1)=E(S2)时,P=0.75, 可见,当 P>0.75 时,S1 为最优方案,当 P<0.75 时,S2 为最优方案。

742

5.解: 由前面的数据做出决策树图如图 16-1 所示。

图 16-1

由图可知选定方案 S2,即不检验。 6.解:

规定 S1 表示投资开发事业,S2 表示存放银行。

① E(S1)=50 000×0.2×0.96?50 000×0.04=7 600,

E(S2)=50 000×0.06×1=3 000,

比较可知道 S1 更优,即选投资开发事业更优,即当我们不掌握全情报用期望值准则来决策

时,S1 是最优行动方案,故 EVwoPI=7 600 元。 ② EVWPI=50 000×0.2×0.96+50 000×0.06×0.04=9 720(元), EVPI=EVWPI?EVWOPI=9 720?7 600=2 120(元)。 ③ 用 I1 表示咨询公司结论为开发,I2 表示咨询公司结论为不开发,N1 表示开发,N2 表示不开
( 发。P(I1)、P(I2 )、 P N1 I1 ) 、 P ( N2 I1 ) 、 P ( N1 I2 ) 、 P ( N2 I2 ) 的值均需要经过计算,由题可知

P ( I1 N1 ) = 0.9 ,

P ( I2 N1 ) = 0.1 ,

P ( I1 N2 ) = 0.4 ,

P ( I2 N2 ) = 0.6 ,

P(N1)=0.96,

P(N2)=0.04,

( ) ( ) P(I1) = P(N1)P I1 N1 + P(N2 )P I1 N2 = 0.96 × 0.9 + 0.04 × 0.4 = 0.88 ,

( ) ( ) P(I2 ) = P(N2 )P I2 N2 + P(N1)P I2 N1 = 0.04 × 0.6 + 0.96 × 0.1 = 0.12 ,

由贝叶斯公式,我们可求得

P ( N1

) ( I1

= P(N1)P I1 P( I1 )

N1

)

=

0.96 × 0.9 0.88

=

0.981

8



P

(

N

2

I1 ) =

( P(N2 )P I1
P( I1 )

N2 ) = 0.04 × 0.4 = 0.018 2 ,
0.88

( ) ( ) ( ) ( ) P

N1 I2

= P(N1)P I2 P(I2 )

N1

= 0.96 × 0.1 = 0.8 , 0.12

P

N2 I2

= P(N2 )P I2 N2 P(I2 )

= 0.04 × 0.6 = 0.2 。 0.12

当调查结论为开发时 E(S1)=8 908 元,E(S2)=3 000(元),故此步骤应选择方案 S1。

当调查结论为不开发时 E(S1)=?2 000 元,E(S2)=3 000(元),故此步骤应选择方案 S2。

因为当咨询公司调查结论为开发时的概率 P(I1)=0.88,不开发的概率 P(I2)=0.12,故 E(调)=

8 199.04(元)。

当公司委托咨询公司进行市场调查即具有样本情报时,公司的期望收益可达 8 199.04 元,

比不进行市场调查公司收益 7 600 元高,故其 EVSI=8 199.04?7 600=599.04(元),样本情报效

743

率=

EVSI EVPI

×100%=28.27%,

因为 599.04<800,所以该咨询服务费用 800 元是不值得的。

7.解:

① 先求各效用值

U(80)=PU(100)+(1?P)U(?10)=0.9(10)+0.1(0)=9,

U(60)=PU(100)+(1?P)U(?10)=0.8(10)+0.1(0)=8,

U(10)=PU(100) + (1?P)U(?10)=0.25(10) +0.75(0)=2.5,

故其效用矩阵如表 16-6 所示。

方案

自然状态 概率

S1(现在扩大) S2(明年扩大)

表 16-6 N1 P(N1)=0.2 10 9

N2 P(N2)=0.5
9 8

② E(S1)=0.2×100+0.5×80+0.3×(?10)=57, E(S2)=80×0.2+60×0.5+10×0.3=49,
故按实际盈利期望值法确定的最优方案为 S1。
E[U (S1)] = 0.2 ×10 + 0.5× 9 + 0.3× 0 = 6.5 , E[U (S2 )] = 0.2 × 9 + 0.5× 8 + 0.3× 2.5 = 6.55 , 因为 E[U (S1)] < E[U (S2 )] ,
所以按效用期望值法确定的最优方案为 S2。

N3 P(N3)=0.3
0 2.5

744

第 17 章 预 测

1.解: ① n=3 时,第 13 个月的销售量为 85 +100 +105 ≈ 96.7;
3 n=4 时,第 13 个月的销售量为 100 + 85 +100 +105 ≈ 97.5。
4 ② 结果如表 17-1 所示。

月份

销售量

表 17-1 α =0.3 时的预测值

α =0.5 时的预测值

1

105

2

135

105

105

3

115

114

120

4

100

114.3

117.5

5

95

110.01

108.75

6

120

105.507

101.875

7

140

109.854 9

8

135

118.898 4

9

100

123.728 9

110.937 5 125.468 8 130.234 4

10

85

116.610 2

115.117 2

11

100

107.127 2

100.058 6

12

105

下一年 1 月

104.989 104.992 3

100.029 3 102.514 6

2.解:

① n=3,比例为 1 : 2 : 4 时,第 11 周的股票价格为 1 × 9.7 + 2 × 9.6 + 4 × 9.4 =9.5;

7

7

7

② n=3,比例为 1 : 3 : 5 时,第 11 周的股票价格为 1 × 9.7 + 3 × 9.6 + 5 × 9.4 =9.5。

9

9

9

③ 由①②的结果可以看出,两个结果相同。

3.解:

① 销售情况如图 17-1 所示。

745

图 17-1

由图 17-1 可以看出,该时间序列有一定的线性趋势。 ② 设线性方程为 Tt = b0 + b1t ,进行如下计算。

合计

表 17-2

t

Yt

t ?Yt

t2

1

20

20

1

2

24.5

49

4

3

28.2

84.6

9

4

27.5

110

16

5

26.6

133

25

6

30

180

36

7

31

217

49

8

36

288

64

9

35.2

316.8

81

10

37.4

374

100

55

296.4

1 772.4

385

∑ ∑ ∑∑ ∑ b1 =

t ?Yt ? ( t2 ? (

t

? t)2

Yt ) / /n

n



1 772.4 ? (55× 296.4) /10 385 ? 552 /10

=1.72,

b0 = Y ? b1t =20.18, 故所求直线方程为 Tt = 20.18 +1.72t 。 t=11 时, Tt = 20.18 +1.72×11=39.1,即第 11 年的销售量为 39.1 万台。 4.解:
① 根据销售数据,可以做出图 17-2。

746

图 17-2

由图 17-2 可看出,销量有较为明显的上升趋势和受季节影响。 ② 根据销售数据,可以做出表 17-3。

季度 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

销售量 1 650 900 2 580 2 460 1 800 840 2 850 2 300 1 850 1 040 2 880 2 560

表 17-3

四个季度移动平均值

中心移动平均值

1 897.5 1 935 1 920 1 987.5 1 947.5 1 960 2 010 2 017.5 2 082.5

1 916.25 1 927.5 1 953.75 1 967.5 1 953.75 1 985 2 013.75 2 050

季节与不规则因素的指标值
1.346 38 1.276 265 0.921 305 0.426 938 1.458 733 1.158 69 0.918 684 0.507 317

去掉指标值中的不规则因素,第三季度的季节指数为 1.346 38+1.458 733 ≈ 1.40,同理可求 2
得第一、二、四季度的季节指数分别为 0.92,0.47 和 1.22。进行调整后,四个季度的季节指数 依次为 0.92,0.47,1.39 和 1.22。
③ 在时间序列中去掉季节因素,可得表 17-4。

747

季度 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

销售量

表 17-4

1 650 900 2 580

2 460 1 800

840 2 850

2 300 1 850 1 040 2 880 2 560

季节指数 0.92 0.47 1.39 1.22 0.92 0.47 1.39 1.22 0.92 0.47 1.39 1.22

消除季节因素的销量 1 793 1 915 1 856 2 016 1 957 1 787 2 050 1 885 2 011 2 213 2 072 2 098

使用消除季节因素后的时间序列确定时间序列的趋势,可以得到直线方程为 Tt = 1805 + 25.5t 。
在第四年第四个季度,t=16,故 Tt = 1805 + 25.5×16 =2 213。 第四季度的季节指数是 1.22,故预测值为 2 213 × 1.22=2 699.9。 5.解: ① 根据销售数据,可以做出图 17-3。

图 17-3
由图 17-3 可以看出,销量有明显的上升趋势和季节影响。 ② 根据销售数据,可以做出表 17-5。
748

季度 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

销售量 6 15 10 4 10 18 15 7 14 26 23 12 19 28 25 18 22 34 28 21 24 36 30 20 28 40 35 27

表 17-5

四个季度移动平均值

中心移动平均值

8.75 9.75 10.5 11.75 12.5 13.5 15.5 17.5 18.75 20 20.5 21 22.5 23.25 24.75 25.5 26.25 26.75 27.25 27.75 27.5 28.5 29.5 30.75 32.5

9.25 10.125 11.125 12.125 13 14.5 16.5 18.125 19.375 20.25 20.75 21.75 22.875 24 25.125 25.875 26.5 27 27.5 27.625 28 29 30.125 31.625

季节与不规则因素的指标值
1.081 08 0.395 06 0.898 88 1.484 54 1.153 85 0.482 76 0.848 48 1.434 48 1.187 1 0.592 59 0.915 66 1.287 36 1.092 9 0.75 0.875 62 1.314 01 1.056 6 0.777 78 0.872 73 1.303 17 1.071 43 0.689 66 0.929 46 1.264 82

去掉指标值中的不规则因素,并进行调整后,四个季度的季节指数依次为 0.90,1.36,1.12 和 0.62。
③ 在时间序列中去掉季节因素,可得表 17-6。

749

季度 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

销售量 6 15 10 4 10 18 15 7 14 26 23 12 19 28 25 18 22 34 28 21 24 36 30 20 28 40 35 27

表 17-6

季节指数 0.90 1.36 1.12 0.62 0.90 1.36 1.12 0.62 0.90 1.36 1.12 0.62 0.90 1.36 1.12 0.62 0.90 1.36 1.12 0.62 0.90 1.36 1.12 0.62 0.90 1.36 1.12 0.62

消除季节因素的销量 6.7 11.0 8.9 6.5 11.1 13.2 13.4 11.3 15.6 19.1 20.5 19.4 21.1 20.6 22.3 29.0 24.4 25.0 25.0 33.9 26.7 26.5 26.8 32.3 31.1 29.4 31.3 43.5

使用消除季节因素后的时间序列确定时间序列的趋势,可以得到直线方程为
Tt = 6.33 +1.06t 在第八年第四个季度,t=32,故 Tt = 6.33 +1.06× 32 = 40.25 。 第四季度的季节指数是 0.62,故预测值为 40.25× 0.62 = 24.96 。

750


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